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设g(x)可导,|g’(x)|<1,且当a≤x≤b时,a<g(x)<b,又x+g(x)-2f(x)=0,若{xn}满足xn+1=f(xn),n=0,1,2,…,x0∈[a,b]。证明: 唯一的ξ∈[a,b],使得f(ξ)=ξ.
设g(x)可导,|g’(x)|<1,且当a≤x≤b时,a<g(x)<b,又x+g(x)-2f(x)=0,若{xn}满足xn+1=f(xn),n=0,1,2,…,x0∈[a,b]。证明: 唯一的ξ∈[a,b],使得f(ξ)=ξ.
admin
2022-03-23
34
问题
设g(x)可导,|g’(x)|<1,且当a≤x≤b时,a<g(x)<b,又x+g(x)-2f(x)=0,若{x
n
}满足x
n+1
=f(x
n
),n=0,1,2,…,x
0
∈[a,b]。证明:
唯一的ξ∈[a,b],使得f(ξ)=ξ.
选项
答案
由x+g(x)-2f(x)=0,有f(x)=[*][x+g(x)] 令F(x)=f(x)-x=[*][g(x)-x] 则F(a)=[*][g(a)-a]>0,F(b)=[*][g(b)-b]<0 由零点定理可知,[*]ξ∈(a,b),使得F(ξ)=0,即f(ξ)=ξ. 又F’(x)=f’(x)-1,方程x+g(x)-2f(x)=0 两边对x求导数,有 1+g’(x)-2f’(x)=0,即f’(x)=[*][1+g’(x)] 由-1<g’(x)<1,则 0<f’(x)<1 ① 知F’(x)<0,F(x)单调减少,故ξ唯一。
解析
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考研数学三
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