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设f(x,y)在点(0,0)的某邻域U内连续,且(常数a>0),则( )
设f(x,y)在点(0,0)的某邻域U内连续,且(常数a>0),则( )
admin
2021-04-07
15
问题
设f(x,y)在点(0,0)的某邻域U内连续,且
(常数a>0),则( )
选项
A、f(0,0)是f(x,y)的极小值
B、f(0,0)是f(x,y)的极大值
C、f(0,0)不是f(x,y)的极值
D、f(0,0)是否为f(x,y)的极值由a的值决定
答案
D
解析
由极限与无穷小的关系,得
f(x,y)-xy=(a+α)(x
2
+y
2
),
其中
。
①设a>1/2,令b=a-1/2>0,于是
f(x,y)=xy+(b+1/2+a)(x
2
+y
2
)
=(x+y)
2
+b(x
2
+y
2
)+a(x
2
+y
2
),
由于f(x,y)在点(0,0)处连续,所以
当x
2
+y
2
>0且足够小时,a<b,f(x,y)>0,所以f(0,0)是f(x,y)的极小值,
②设,0<a<1/2,令b=a-1/2,于是一1/2<b=a-1/2<0,
f(x,y)=1/2(x+y)
2
+(b+a)(x
2
+y
2
),
沿直线y=-x,且点(x,y)属于点(0,0)的足够小的去心邻域
,使∣a∣<∣b∣,于是
f(x,y)<0
若沿直线y=x,且点(x,y)∈U,注意此时必有z≠0,故
f(x,y)=2x
2
(1+b+a)>0,
所以点(0,0)不是f(x,y)的极值点,选D。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/HEy4777K
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