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已知fn(x)满足f’n(x)=fn(x)+xn-1ex(n为正整数),且fn(1)=e/n,求函数项级数fn(x)之和.
已知fn(x)满足f’n(x)=fn(x)+xn-1ex(n为正整数),且fn(1)=e/n,求函数项级数fn(x)之和.
admin
2022-07-21
111
问题
已知f
n
(x)满足f’
n
(x)=f
n
(x)+x
n-1
e
x
(n为正整数),且f
n
(1)=e/n,求函数项级数
f
n
(x)之和.
选项
答案
由已知条件知,f
n
(x)满足一阶线性微分方程 f’
n
(x)-f
n
(x)=x
n-1
e
x
[*] 记S(x)=[*],容易求出收敛域为[-1,1),且S(0)=0.于是当-1<x<1时,有 [*] 因为S(x)=-ln(1-x)在点x=-1的连续性知,和函数在x=-1也成立.于是当-1≤x<1时,[*]=-e
x
ln(1-x).
解析
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考研数学二
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