已知fn(x)满足f’n(x)=fn(x)+xn-1ex(n为正整数)，且fn(1)=e/n，求函数项级数fn(x)之和．

admin2022-07-21 82

问题已知f_n(x)满足f’_n(x)=f_n(x)+x^n-1e^x(n为正整数)，且f_n(1)=e/n，求函数项级数

f_n(x)之和．

选项

答案由已知条件知，f_n(x)满足一阶线性微分方程 f’_n(x)-f_n(x)=x^n-1e^x [*] 记S(x)=[*]，容易求出收敛域为[-1，1)，且S(0)=0．于是当-1＜x＜1时，有 [*] 因为S(x)=-ln(1-x)在点x=-1的连续性知，和函数在x=-1也成立．于是当-1≤x＜1时，[*]=-e^xln(1-x)．

解析

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