设A是n阶非零实矩阵，A是A的伴随矩阵，AT是A的转置矩阵，如果AT=A，证明任一n维列向量均可由矩阵A的列向量线性表出．

admin2020-03-16 115

问题设A是n阶非零实矩阵，A^*是A的伴随矩阵，A^T是A的转置矩阵，如果A^T=A^*，证明任一n维列向量均可由矩阵A的列向量线性表出．

选项

答案因为A^*=A^T，按定义有A_ij=a_ij([*]i，j=1，2，…，n)，其中A_ij是行列式｜A｜中a_ij的代数余子式．由于A≠0，不妨设a₁₁≠0，那么｜A｜=a₁₁A₁₁+a₁₂A₁₂+…+a_1nA_1n=a₁₁²+a₁₂²+…+a_1n²≠0．于是A=(α₁，α₂，…，α_n)的n个列向量线性无关．那么对任－n维列向量β，恒有α₁，α₂，…，α_n，β线性相关．因此β必可由α₁，α₂，…，α_n线性表出．

解析

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