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  3. (Ⅰ)证明：对任意的正整数n，都有成立； (Ⅱ)设an=1+－lnn(n=1，2，…)，证明数列{an}收敛。

(Ⅰ)证明：对任意的正整数n，都有成立； (Ⅱ)设an=1+－lnn(n=1，2，…)，证明数列{an}收敛。

admin2021-01-19  118
问题 (Ⅰ)证明：对任意的正整数n，都有成立；
(Ⅱ)设an=1+－lnn(n=1，2，…)，证明数列{an}收敛。
选项
答案(Ⅰ)令1／n=x，则原不等式可化为[*]＜ln(1+x)＜x(x＞0)。 先证明ln(1+x)＜x(x＞0)。 令f(x)=x－ln(1+x)。由于f’(x)=1－[*]＞0(x＞0)，可知f(x)在[0，+∞))上单调递增。又由于f(0)=0，因此当x＞0时，f(x)＞f(0)=0。也即 ln(1+x)＜x(x＞0)。 再证明[*]＜ln(1+x)(x＞0)。 令g(x)=ln(1+x)－[*]由于g’(x)=[*]＞0(x＞0)，可知g(x)在[0，+∞)上单调递增。由于g(0)=0，因此当x＞0时，g(x)＞g(0)=0。也即[*]＜ln(1+x)(x＞0)。 因此，[*]＜ln(1+x)＜x(x＞0)成立。再令1／n=x，由于n为正整数，即可得到所需证明的不等式。 (Ⅱ)易知an+1－an=[*] 由不等式[*]可知，数列{an}单调递减。 又由不等式ln(1+[*])＜1／n可知： [*] =ln(n+1)－lnn＞0。 因此数列{an}是有界的。故由单调有界收敛定理可知数列{an}收敛。
解析
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考研数学二

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