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(Ⅰ)证明:对任意的正整数n,都有成立; (Ⅱ)设an=1+-lnn(n=1,2,…),证明数列{an}收敛。
(Ⅰ)证明:对任意的正整数n,都有成立; (Ⅱ)设an=1+-lnn(n=1,2,…),证明数列{an}收敛。
admin
2021-01-19
66
问题
(Ⅰ)证明:对任意的正整数n,都有
成立;
(Ⅱ)设a
n
=1+
-lnn(n=1,2,…),证明数列{a
n
}收敛。
选项
答案
(Ⅰ)令1/n=x,则原不等式可化为[*]<ln(1+x)<x(x>0)。 先证明ln(1+x)<x(x>0)。 令f(x)=x-ln(1+x)。由于f’(x)=1-[*]>0(x>0),可知f(x)在[0,+∞))上单调递增。又由于f(0)=0,因此当x>0时,f(x)>f(0)=0。也即 ln(1+x)<x(x>0)。 再证明[*]<ln(1+x)(x>0)。 令g(x)=ln(1+x)-[*]由于g’(x)=[*]>0(x>0),可知g(x)在[0,+∞)上单调递增。由于g(0)=0,因此当x>0时,g(x)>g(0)=0。也即[*]<ln(1+x)(x>0)。 因此,[*]<ln(1+x)<x(x>0)成立。再令1/n=x,由于n为正整数,即可得到所需证明的不等式。 (Ⅱ)易知a
n+1
-a
n
=[*] 由不等式[*]可知,数列{a
n
}单调递减。 又由不等式ln(1+[*])<1/n可知: [*] =ln(n+1)-lnn>0。 因此数列{a
n
}是有界的。故由单调有界收敛定理可知数列{a
n
}收敛。
解析
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考研数学二
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