首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
(Ⅰ)证明:对任意的正整数n,都有成立; (Ⅱ)设an=1+-lnn(n=1,2,…),证明数列{an}收敛。
(Ⅰ)证明:对任意的正整数n,都有成立; (Ⅱ)设an=1+-lnn(n=1,2,…),证明数列{an}收敛。
admin
2021-01-19
62
问题
(Ⅰ)证明:对任意的正整数n,都有
成立;
(Ⅱ)设a
n
=1+
-lnn(n=1,2,…),证明数列{a
n
}收敛。
选项
答案
(Ⅰ)令1/n=x,则原不等式可化为[*]<ln(1+x)<x(x>0)。 先证明ln(1+x)<x(x>0)。 令f(x)=x-ln(1+x)。由于f’(x)=1-[*]>0(x>0),可知f(x)在[0,+∞))上单调递增。又由于f(0)=0,因此当x>0时,f(x)>f(0)=0。也即 ln(1+x)<x(x>0)。 再证明[*]<ln(1+x)(x>0)。 令g(x)=ln(1+x)-[*]由于g’(x)=[*]>0(x>0),可知g(x)在[0,+∞)上单调递增。由于g(0)=0,因此当x>0时,g(x)>g(0)=0。也即[*]<ln(1+x)(x>0)。 因此,[*]<ln(1+x)<x(x>0)成立。再令1/n=x,由于n为正整数,即可得到所需证明的不等式。 (Ⅱ)易知a
n+1
-a
n
=[*] 由不等式[*]可知,数列{a
n
}单调递减。 又由不等式ln(1+[*])<1/n可知: [*] =ln(n+1)-lnn>0。 因此数列{a
n
}是有界的。故由单调有界收敛定理可知数列{a
n
}收敛。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/sN84777K
0
考研数学二
相关试题推荐
设函数f(x)连续,且∫0xf(t)dt=sin2x+∫0xtf(x-t)dt.求f(x).
函数与直线x=0,x=t(t>0)及y=0围成一曲边梯形.该曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体,其体积为V(t),侧面积为S(t),在x=t处的底面积为F(t).(1)求的值;(2)计算极限
已知α1,α2,α3是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系,证明α1+α2,α2+α3,α1+α3也是该方程组的一个基础解系.
设函数f(u)具有连续导数,且方程x一z=yf(z2一x2)确定隐函数z=z(x,y),则
eπ与πe谁大谁小,请给出结论并给予严格的证明(不准用计算器).
设f(x)在(-∞,+∞)上有定义,且对任意的x,y∈(-∞,+∞)有|f(x)-f(y)|≤|x-y|.证明:
设可微函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极小值,则下列结论正确的是().
当陨石穿过大气层向地面高速坠落时,陨石表面与空气摩擦产生的高温使陨石燃烧并不断挥发,实验证明,陨石挥发的速率(即体积减少的速率)与陨石表面积成正比,现有一陨石是质量均匀的球体,且在坠落过程中始终保持球状,若它在进入大气层开始燃烧的前3s内,减少了体积的7/
随机试题
盐酸氯丙嗪尼可刹米
调查评估标准宗地的价格是,由估价人员抽调搜集这些宗地的()。
下列关于刑事犯罪的说法正确的是()。
下列关于资产收益率和所有者权益收益率的说法,不正确的是()。
下列属于证券公司可以经营的业务的有()。’
根据需要起源不同,可将其划分为()
Peopleunderstresshaveperformed________featsofstrength,likeliftinganautomobileoffanaccidentvictim.
2015年10月5日,韩国媒体报道,韩国民调机构Realmeter于当地时间5日发布的一项调查结果显示,韩国民众对总统朴槿惠施政的支持率升到48.3%,仅时隔两周就止跌转升。报道称,Realmeter于9月29日至10月4日针对全国2000名成年人就朴槿惠
Thedentisthasdecidedtoextractherbadtooth.
Keepinghealthyrequiresaconsciouseffort.Youmakechoicesaboutthefoodsyoueat,just【C1】______youmakechoicesaboutgett
最新回复
(
0
)