设X1,Xn1与Y1,…,Yn2为分别来自总体N(μ1,σ2)和N(μ2,σ2)的简单随机样本,样本方差分别为,令Z=aS12+bS22,其中a与b为常数,若统计量Z为σ2的无偏估计量,求a与b满足的条件,并在此条件下,当a与b取何值时,统计量为最有效.

admin2014-04-23  48

问题 设X1,Xn1与Y1,…,Yn2为分别来自总体N(μ1,σ2)和N(μ2,σ2)的简单随机样本,样本方差分别为,令Z=aS12+bS22,其中a与b为常数,若统计量Z为σ2的无偏估计量,求a与b满足的条件,并在此条件下,当a与b取何值时,统计量为最有效.

选项

答案若Z=aS22+bS22为σ2的无偏估计量,则EZ=E(aS22+bS22)=aES22+bES22=(a+b)σ22. 解得a+b=1. 令b=1一a,则Z=aS12+(1一a)S22为σ2的无偏估计量, 其中0<a<1,于是DZ=D[aS12+(1a)S22]=a2DS12+(1一a)2DS22. 令[*] 解得[*] 另一方面,[*] 所以当[*]时,统计量Z的方差最小,即为最有效.

解析
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