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设A=(aij)m×n,y=(y1,y2,…,yn)T,b=(b1,b2,…,bm)T,χ=(χ1,χ2,…,χm)T,证明方程组Ay=b有解的充分必要条件是方程组无解(其中0是n×1矩阵)。
设A=(aij)m×n,y=(y1,y2,…,yn)T,b=(b1,b2,…,bm)T,χ=(χ1,χ2,…,χm)T,证明方程组Ay=b有解的充分必要条件是方程组无解(其中0是n×1矩阵)。
admin
2017-11-30
65
问题
设A=(a
ij
)
m×n
,y=(y
1
,y
2
,…,y
n
)
T
,b=(b
1
,b
2
,…,b
m
)
T
,χ=(χ
1
,χ
2
,…,χ
m
)
T
,证明方程组Ay=b有解的充分必要条件是方程组
无解(其中0是n×1矩阵)。
选项
答案
必要性:设方程组Ay=b易有解,则对满足A
T
χ=0的向量χ
0
, b
T
χ
0
=y
T
A
T
χ
0
=y
T
×0=0, 从而[*],可见方程组[*]无解。 充分性:设方程组[*]无解,则线性方程组的增广矩阵的秩 [*] 另一方面, [*]≤r([A
T
,0])+1=r(A
T
)+1=r(A)+1, 所以有[*]≤r(A)。 又由于[*]≥r(A),可知r(A)=r([*]),从而方程组Ay=b有解。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Hfr4777K
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考研数学一
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