设A＝(aij)m×n，y＝(y1，y2，…，yn)T，b＝(b1，b2，…，bm)T，χ＝(χ1，χ2，…，χm)T，证明方程组Ay＝b有解的充分必要条件是方程组无解(其中0是n×1矩阵)。

admin2017-11-30 45

问题设A＝(a_ij)_m×n，y＝(y₁，y₂，…，y_n)^T，b＝(b₁，b₂，…，b_m)^T，χ＝(χ₁，χ₂，…，χ_m)^T，证明方程组Ay＝b有解的充分必要条件是方程组

无解(其中0是n×1矩阵)。

选项

答案必要性：设方程组Ay＝b易有解，则对满足A^Tχ＝0的向量χ₀， b^Tχ₀＝y^TA^Tχ₀＝y^T×0＝0，从而[*]，可见方程组[*]无解。充分性：设方程组[*]无解，则线性方程组的增广矩阵的秩 [*] 另一方面， [*]≤r([A^T，0])＋1＝r(A^T)＋1＝r(A)＋1，所以有[*]≤r(A)。又由于[*]≥r(A)，可知r(A)＝r([*])，从而方程组Ay＝b有解。

解析

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考研数学一

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