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已知α1,α2,α3,α4是3维非零向量,则下列命题中错误的是
已知α1,α2,α3,α4是3维非零向量,则下列命题中错误的是
admin
2019-08-11
51
问题
已知α
1
,α
2
,α
3
,α
4
是3维非零向量,则下列命题中错误的是
选项
A、如果α
4
不能由α
1
,α
2
,α
3
线性表出,则α
1
,α
2
,α
3
线性相关.
B、如果α
1
,α
2
,α
3
线性相关,α
2
,α
3
,α
4
线性相关,那么α
1
,α
2
,α
4
也线性相关.
C、如果α
3
不能由α
1
,α
2
线性表出,α
4
不能由α
2
,α
3
线性表出,则α
1
可以由α
2
,α
3
,α
4
线性表出.
D、如果秩r(α
1
,α
1
+α
2
,α
2
+α
3
)=r(α
4
,α
1
+α
4
,α
2
+α
4
,α
3
+α
4
),则α
4
可以由α
1
,α
2
,α
3
线性表出.
答案
B
解析
例如α
1
=(1,0,0)
T
,α
2
=(0,1,0)
T
,α
3
=(0,2,0)
T
,α
4
=(0,0,1)
T
,可知(B)不正确.应选B.
关于(A):如果α
1
,α
2
,α
3
线性无关,又因α
1
,α
2
,α
3
,α
4
是4个3维向量,它们必线性相关,而知α
4
必可由α
1
,α
2
,α
3
线性表出.
关于(C):由已知条件,有
(Ⅰ) r(α
1
,α
2
)≠r(α
1
,α
2
,α
3
), (Ⅱ) r(α
2
,α
3
)≠r(α
2
,α
3
,α
4
).
若r(α
2
,α
3
)=1,则必有r(α
1
,α
2
)=r(α
1
,α
2
,α
3
),与条件(Ⅰ)矛盾.故必有r(α
2
,α
3
)=2.那么由(Ⅱ)知r(α
2
,α
3
,α
4
)=3,从而r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)=3.因此α
1
可以由α
2
,α
3
,α
4
线性表出.
关于(D):经初等变换有
(α
1
,α
1
+α
2
,α
2
+α
3
)_(α
1
,α
2
,α
2
+α
3
)→(α
1
,α
2
,α
3
),
(α
4
,α
1
+α
4
,α
2
+α
4
,α
3
+α
4
)→(α
4
,α
1
,α
2
,α
3
)→(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
),
从而 r(α
1
,α
2
,α
3
)=r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
).
因而α
4
可以由α
1
,α
2
,α
3
线性表出.
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