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设有连续两点A(0,1)与B(1,0)且位于弦AB上方的一条上凸的曲线,P(x,y)为曲线上任一点。已知曲线与弦AP之间的面积为P点横坐标的立方,求曲线方程。
设有连续两点A(0,1)与B(1,0)且位于弦AB上方的一条上凸的曲线,P(x,y)为曲线上任一点。已知曲线与弦AP之间的面积为P点横坐标的立方,求曲线方程。
admin
2019-01-15
65
问题
设有连续两点A(0,1)与B(1,0)且位于弦AB上方的一条上凸的曲线,P(x,y)为曲线上任一点。已知曲线与弦AP之间的面积为P点横坐标的立方,求曲线方程。
选项
答案
如下图所示,设曲线方程y=f(x),则弦AP的方程为 [*] 即[*]。根据题意,于是有 [*] 化简整理,得 [*] 两边对x求导,得 [*] 即[*] 由一阶线性微分方程通解公式,得 [*] 由f(1)=0,得C=5,因此所求曲线方程为f(x)=-6x
2
+5x+1。 [*]
解析
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考研数学三
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