2. 考研
  3. (94年)设有线性方程组 (1)证明：若a1，a2，a3，a4两两不相等，则此线性方程组无解； (2)设a1＝a3＝k，a2＝a4＝－k(k≠0)，且已知β1＝(－1，1，1)T，β2＝(1，1，－1)T是该方程组的两个解，写出此方程组的通

(94年)设有线性方程组 (1)证明：若a1，a2，a3，a4两两不相等，则此线性方程组无解； (2)设a1＝a3＝k，a2＝a4＝－k(k≠0)，且已知β1＝(－1，1，1)T，β2＝(1，1，－1)T是该方程组的两个解，写出此方程组的通

admin2017-05-26  48
问题 (94年)设有线性方程组
    (1)证明：若a1，a2，a3，a4两两不相等，则此线性方程组无解；
    (2)设a1＝a3＝k，a2＝a4＝－k(k≠0)，且已知β1＝(－1，1，1)T，β2＝(1，1，－1)T是该方程组的两个解，写出此方程组的通解．
选项
答案(1)增广矩阵[*]为一方阵，其行列式显然为－4阶范德蒙行列式的转置： [*]＝(a2－a1)(a3－a1)(a4－a1)(a3－a2)(a4－a2)(a4－a3) 由a1，a2，a3，a4两两不相等，知[*]≠0，从而知矩阵[*]的秩为4．但系数矩阵A为4×3矩阵，有r(A)≤3(或由A左上角的3阶子式不等于零知r(A)＝3)，故r(A)≠r([*])，因此方程组无解． (2)当a1＝a3＝k，a2＝a4＝－k(k≠0)时，方程组为 [*] 因为[*]＝－2k≠0，故r(A)＝r([*])＝2，从而原方程组相容且它的导出方程组的基础解系应含有 3－2＝1个解向量． 因为β1，β2是原非齐次方程组的两个解，故 ξ＝β1－β2＝[*] 是对应齐次方程组的解，且ξ≠0，故ξ是导出方程组的基础解系． 于是原非齐次方程组的通解为 X＝β1＋cξ＝[*]，(c为任意常数)
解析
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考研数学三

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