(94年)设有线性方程组 (1)证明:若a1,a2,a3,a4两两不相等,则此线性方程组无解; (2)设a1=a3=k,a2=a4=-k(k≠0),且已知β1=(-1,1,1)T,β2=(1,1,-1)T是该方程组的两个解,写出此方程组的通

admin2017-05-26  36

问题 (94年)设有线性方程组
    (1)证明:若a1,a2,a3,a4两两不相等,则此线性方程组无解;
    (2)设a1=a3=k,a2=a4=-k(k≠0),且已知β1=(-1,1,1)T,β2=(1,1,-1)T是该方程组的两个解,写出此方程组的通解.

选项

答案(1)增广矩阵[*]为一方阵,其行列式显然为-4阶范德蒙行列式的转置: [*]=(a2-a1)(a3-a1)(a4-a1)(a3-a2)(a4-a2)(a4-a3) 由a1,a2,a3,a4两两不相等,知[*]≠0,从而知矩阵[*]的秩为4.但系数矩阵A为4×3矩阵,有r(A)≤3(或由A左上角的3阶子式不等于零知r(A)=3),故r(A)≠r([*]),因此方程组无解. (2)当a1=a3=k,a2=a4=-k(k≠0)时,方程组为 [*] 因为[*]=-2k≠0,故r(A)=r([*])=2,从而原方程组相容且它的导出方程组的基础解系应含有 3-2=1个解向量. 因为β1,β2是原非齐次方程组的两个解,故 ξ=β1-β2=[*] 是对应齐次方程组的解,且ξ≠0,故ξ是导出方程组的基础解系. 于是原非齐次方程组的通解为 X=β1+cξ=[*],(c为任意常数)

解析
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