(1)证明两个上三角矩阵A和B的乘积AB还是上三角矩阵；并且AB的对角线元素就是A和曰对应对角线元素的乘积． (2)证明上三角矩阵A的方幂Ak与多项式f(A)也都是上三角矩阵；并且Ak的对角线元素为a11k， a22k，…，annk；f(A)的对角

admin2018-11-20 71

问题 (1)证明两个上三角矩阵A和B的乘积AB还是上三角矩阵；并且AB的对角线元素就是A和曰对应对角线元素的乘积．
(2)证明上三角矩阵A的方幂A^k与多项式f(A)也都是上三角矩阵；并且A^k的对角线元素为a₁₁^k，
a₂₂^k，…，a_nn^k；f(A)的对角线元素为f(a₁₁)，f(a₂₂)，…，f(a_nn)．
(a₁₁,a₂₂，…，a_nn是A的对角线元素．)

选项

答案(1)设A和B都是n阶上三角矩阵，C=AB，要说明C的对角线下的元素都为0，即i＞j时，c_ij=0．c_ij=A的第i个行向量和B的第j个列向量对应分量乘积之和．由于A和B都是n阶上三角矩阵，A的第i个行向量的前面i一1个分量都是0，B的第j个列向量的后面n—j个分量都是0，而i一1+n—j=n+(i—j一1)≥n，因此c_ij=0． c_ii=a_i1b_1i+…+a_ii-1b_i-1i+a_iib_ii+a_ii+1b_i+1i+…+a_inb_ni =a_iib_ii(a_i1=…=a_ii-1=0，b_i+1i=…=b_ni=0)． (2)设A是上三角矩阵．由(1)，直接可得A^k是上三角矩阵，并且对角线元素为a₁₁^k，a₂₂^k，…，a_nn^k．设f(A)=a_mA^m+a_m-1A^m-1+…+a₁A+a₀E．a_iAⁱ都是上三角矩阵，作为它们的和，f(A)也是上三角矩阵．f(A)的对角线元素作为它们的对角线元素的和，是f(a₁₁)，f(a₂₂)，…，f(a_nn)．

解析

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考研数学三

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(1)证明两个上三角矩阵A和B的乘积AB还是上三角矩阵；并且AB的对角线元素就是A和曰对应对角线元素的乘积． (2)证明上三角矩阵A的方幂Ak与多项式f(A)也都是上三角矩阵；并且Ak的对角线元素为a11k， a22k，…，annk；f(A)的对角

考研数学三

若矩阵A=，B是三阶非零矩阵，满足AB=0，则t=________．

设三阶矩阵A=(α，γ1，γ2)，B=(β，γ1，γ2)，其中α，β，γ1，γ2是三维列向量，且|A|=3，|B|=4，则|5A一2B|=________．

设有四个线性无关的特征向量，求A的特征值与特征向量，并求A2010．

设相似于对角阵，求：A100．

设A，B满足A*BA=2BA一8E，且A=，求B．

设A，B为n阶矩阵，且A2=A，B2=B，(A+B)2=A+B．证明：AB=0．

设A是4×3阶矩阵且r(A)=2，B=，则r(AB)=________．

设A是三阶实对称矩阵，且A2+2A=0，r(A)=2．当k为何值时，A+kE为正定矩阵？

设A为n阶实对称可逆矩阵，f(x1，x2，…，xn)=记X=(x1，x2，…，xn)T，把二次型f(x1，x2，…，xn)写成矩阵形式；

对于腮腺区肿物，哪种检查是不正确的

下列选项不属于单相流洁净室的送风形式的是()。

除专用合同条款另有约定外，发包人应在开工后28天内预付安全文明施工费总额的()，其余部分与进度款同期支付。

学习与教学的要素包括学生、教师、教学内容、教学媒体和______。

在冬季，人们往往容易鼻子出血，因而常常在房间的地上洒一些水，或在室内放一盆清水、挂一些湿毛巾等。对以上做法最合理的解释是()。

_是德国同时也是欧洲文学史上第一部市民悲剧，德国市民悲剧的代表作是_。

路由器收到一个IP数据报，其目标地址为202.100.117.4，与该地址匹配的子网是()。

给定程序中，函数fun的功能是：有N×N矩阵，根据给定的m(m＜=)值，将每行元素中的值均右移m个位置，左边置为0。例如，N=3，m=2，有下列矩阵123456789程

TheBuildingofthePyramidsTheoldeststonebuildingsintheworldarethepyramids.【46】.Thereareovereightypercentof

(1)证明两个上三角矩阵A和B的乘积AB还是上三角矩阵；并且AB的对角线元素就是A和曰对应对角线元素的乘积． (2)证明上三角矩阵A的方幂Ak与多项式f(A)也都是上三角矩阵；并且Ak的对角线元素为a11k， a22k，…，annk；f(A)的对角

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设三阶矩阵A=(α，γ1，γ2)，B=(β，γ1，γ2)，其中α，β，γ1，γ2是三维列向量，且|A|=3，|B|=4，则|5A一2B|=________．

设有四个线性无关的特征向量，求A的特征值与特征向量，并求A2010．

设相似于对角阵，求：A100．

设A，B满足A*BA=2BA一8E，且A=，求B．

设A，B为n阶矩阵，且A2=A，B2=B，(A+B)2=A+B．证明：AB=0．

设A是4×3阶矩阵且r(A)=2，B=，则r(AB)=________．

设A是三阶实对称矩阵，且A2+2A=0，r(A)=2．当k为何值时，A+kE为正定矩阵？

设A为n阶实对称可逆矩阵，f(x1，x2，…，xn)=记X=(x1，x2，…，xn)T，把二次型f(x1，x2，…，xn)写成矩阵形式；

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下列选项不属于单相流洁净室的送风形式的是()。

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_______是德国同时也是欧洲文学史上第一部市民悲剧，德国市民悲剧的代表作是_______。

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_是德国同时也是欧洲文学史上第一部市民悲剧，德国市民悲剧的代表作是_。