求xy’’－y’lny’+y’lnx=0满足y(1)=2和y’(1)=e2的特解．

admin2019-01-23 48

问题求xy’’－y’lny’+y’lnx=0满足y(1)=2和y’(1)=e²的特解．

选项

答案设y’=p，则y’’=p’，代入原方程中，xp’－pln p+pln x=0，即 [*] 这是齐次方程，设p=xu，则 [*] 代入上式得 [*] 由原方程知x＞0，y’＞0，从而u＞0，积分后得 lnu－1=C₁x，即ln u=C₁x+1，回代[*]得p=xe^C₁x+1．代入初值条件y’(1)=e²，解得C₁=1，得到方程 p=xe^x+1，即 [*] 积分得y=(x－1)e^x+1+C₂．代入初值条件y(1)=2，解得C₂=2，故所求特解为y=(x－1)e^x+1+2．

解析

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考研数学一

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