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设f(x)有界,且f’(x)连续,对任意的x∈(-∞,+∞)有|f(x)+f’(x)|≤1.证明: |f(x)|≤1.
设f(x)有界,且f’(x)连续,对任意的x∈(-∞,+∞)有|f(x)+f’(x)|≤1.证明: |f(x)|≤1.
admin
2019-11-25
46
问题
设f(x)有界,且f’(x)连续,对任意的x∈(-∞,+∞)有|f(x)+f’(x)|≤1.证明: |f(x)|≤1.
选项
答案
令φ(x)=e
x
f(x),则φ’(x)=e
x
[f(x)+f’(x)], 由|f(x)+f’(x)|≤1得|φ’(x)|≤e
x
,又由f(x)有界得φ(-∞)=0,则 φ(x)=φ(x)-φ(-∞)=[*]φ’(x)dx,两边取绝对值得 e
x
|f(x)|≤[*]| φ’(x)|dx≤[*]e
x
dx=e
x,/sup>,所以|f(x)|≤1.
解析
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考研数学三
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