设f(x)有界，且f’(x)连续，对任意的x∈(－∞，＋∞)有｜f(x)＋f’(x)｜≤1．证明：｜f(x)｜≤1．

admin2019-11-25 61

问题设f(x)有界，且f’(x)连续，对任意的x∈(－∞，＋∞)有｜f(x)＋f’(x)｜≤1．证明：｜f(x)｜≤1．

选项

答案令φ(x)＝e^xf(x)，则φ’(x)＝e^x[f(x)＋f’(x)]，由｜f(x)＋f’(x)｜≤1得｜φ’(x)｜≤e^x，又由f(x)有界得φ(－∞)＝0，则 φ(x)＝φ(x)－φ(－∞)＝[*]φ’(x)dx，两边取绝对值得 e^x｜f(x)｜≤[*]｜ φ’(x)｜dx≤[*]e^xdx＝e^{x,/sup>，所以｜f(x)｜≤1．}

解析

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