设P(x0，y0)为椭圆3x2＋a2y2＝3a2(a＞0)在第一象限部分上的一点，已知在P点处椭圆的切线、椭圆及两坐标轴所围图形D的面积的最小值为2(1－1/4π) 求点P的坐标及a的值

admin2022-06-09 51

问题设P(x₀，y₀)为椭圆3x²＋a²y²＝3a²(a＞0)在第一象限部分上的一点，已知在P点处椭圆的切线、椭圆及两坐标轴所围图形D的面积的最小值为2

(1－1/4π)
求点P的坐标及a的值

选项

答案如图所示，椭圆在P点处的切线方程为 x₀x/a²＋y₀y/3＝1 分别令x＝0，y＝0，得切线在y轴和x轴上的截距为3/y₀和a²，则D的面积为S＝[*] 当x₀y₀最大时，S最小，令A＝x₀y₀＝[*]，问题转化为求A在(0，a)内的最大值，令A’＝[*]，得唯一驻点x₀＝[*]，故x₀＝[*]是S的最小值点，此时P点坐标为[*] 又由S的最小值为 [*] 解得a＝2，P[*]

解析

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考研数学二

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设P(x0，y0)为椭圆3x2＋a2y2＝3a2(a＞0)在第一象限部分上的一点，已知在P点处椭圆的切线、椭圆及两坐标轴所围图形D的面积的最小值为2(1－1/4π) 求点P的坐标及a的值

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