设函数y(x)=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值,其图形在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行,则y(x)的极大值与极小值之差为

admin2019-03-11  57

问题 设函数y(x)=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值,其图形在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行,则y(x)的极大值与极小值之差为

选项 A、1.
B、2.
C、3.
D、4

答案D

解析 先确定三次函数y(x)表达式中的常数a,b,c.
由y’(x)=3x2+6ax+3b及已知x=2是极值点,可得
y’(2)=3(4+4a+b)=0.    ①
又由在x=1处的斜率为y’(1)=-3,得3(1+2a+b)=-3.    ②
由①、②可得a=-1,b=0.  
故三次函数y(x)=x3-3x2+c.  
由y’(x)=3x(x-2)得函数y(x)有驻点x=0与x=2.又由y’’(x)=6x-6知y’’(0)<0与y’’(2)>0.故y(x)的极大值为y(0)=c,  极小值为y(2)=-4+c.
于是y(0)-y(2)=4.故应选(D).
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