设函数y(x)=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值，其图形在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行，则y(x)的极大值与极小值之差为

admin2019-03-11 81

问题设函数y(x)=x³+3ax²+3bx+c在x=2处有极值，其图形在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行，则y(x)的极大值与极小值之差为

选项 A、1．
B、2．
C、3．
D、4

答案D

解析先确定三次函数y(x)表达式中的常数a，b，c．
由y’(x)=3x²+6ax+3b及已知x=2是极值点，可得
y’(2)=3(4+4a+b)=0． ①
又由在x=1处的斜率为y’(1)=-3，得3(1+2a+b)=-3． ②
由①、②可得a=-1，b=0．
故三次函数y(x)=x³-3x²+c．
由y’(x)=3x(x-2)得函数y(x)有驻点x=0与x=2．又由y’’(x)=6x-6知y’’(0)＜0与y’’(2)＞0．故y(x)的极大值为y(0)=c，  极小值为y(2)=-4+c．
于是y(0)-y(2)=4．故应选(D)．

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考研数学三

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