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  3. 设A是n阶矩阵，A经过初等行变换得到B，则正确的是 ( )

设A是n阶矩阵，A经过初等行变换得到B，则正确的是 ( )

admin2022-06-09  49
问题 设A是n阶矩阵，A经过初等行变换得到B，则正确的是    (          )
选项 A、A，B的列向量组是等价向量组
B、A，B的行向量组是等价向量组
C、非齐次线性方程组Ax＝b与Bx＝b是同解方程组
D、｜A｜＝｜B｜
答案B
解析 由已知，存在可逆矩阵Q，使得QA＝B，将A，B按行分块，有QA＝
所以βi＝qi1a1＋qi2a2＋…＋qinan，i＝1，2，…，n，故B的行向量βi.可由A的行向量组a1，a2，…，an线性表示，又由于Q可逆，故
A＝Q-1B＝Q-1
所以A的行向量ai(i＝1，2，…，n)也可由B的行向量组线性表示，B正确，对于A，如
A＝，B＝，Q＝
显然A，B的列向量组不能互相线性表示，故不等价，对于C，由Q可逆，可知Ax＝0与Bx＝0同解，但不是对增广矩阵作初等行变换，故
Ax＝b与Bx＝b不一定同解，
对于D，由QA＝B，可知｜Q｜｜A｜＝｜B｜，又由于｜Q｜不一定等于1，故D不正确
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考研数学二

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