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(2004年试题,三)设矩阵的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化.
(2004年试题,三)设矩阵的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化.
admin
2013-12-27
44
问题
(2004年试题,三)设矩阵
的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化.
选项
答案
矩阵A的特征多项式为[*]若λ=2是特征方程的二重根,则2
2
一8×2+18+3a=0,得a=一2.当a=一2时,A的特征值为2,2,6,矩阵[*]的秩为1,则λ=2对应的线性无关的特征向量有两个,故此时A可相似对角化;若A=2不是特征方程的二重根,则λ
2
一8λ+18+3a是完全平方式,从而得△=64—4(18+3a)=0,即得[*].当[*]时,A的特征值为2,4,4,矩阵[*]的秩为2,故λ=4对应的线性无关的特征向量只有一个,故此时A不可相似对角化.
解析
n阶矩阵A可相似对角化
对于A的任意k
i
重特征值λ
i
,恒有n—r(λ
i
E一A)=k
i
,而单根一定有且只有一个线性无关的特征向量.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/IC54777K
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考研数学一
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