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(2004年试题，三)设矩阵的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似对角化．

admin2013-12-27  43
问题 (2004年试题，三)设矩阵的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似对角化．
选项
答案矩阵A的特征多项式为[*]若λ=2是特征方程的二重根，则22一8×2+18+3a=0，得a=一2．当a=一2时，A的特征值为2，2，6，矩阵[*]的秩为1，则λ=2对应的线性无关的特征向量有两个，故此时A可相似对角化；若A=2不是特征方程的二重根，则λ2一8λ+18+3a是完全平方式，从而得△=64—4(18+3a)=0，即得[*]．当[*]时，A的特征值为2，4，4，矩阵[*]的秩为2，故λ=4对应的线性无关的特征向量只有一个，故此时A不可相似对角化．
解析 n阶矩阵A可相似对角化对于A的任意ki重特征值λi，恒有n—r(λiE一A)=ki，而单根一定有且只有一个线性无关的特征向量．
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考研数学一

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