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  3. 设向量组Ⅰ：α1，α2，…，αr，可由向量组Ⅱ：β1，β2…，βs线性表示，则( )

设向量组Ⅰ：α1，α2，…，αr，可由向量组Ⅱ：β1，β2…，βs线性表示，则( )

admin2021-02-25  116
问题 设向量组Ⅰ：α1，α2，…，αr，可由向量组Ⅱ：β1，β2…，βs线性表示，则(              )
选项 A、当r＜s时，向量组Ⅱ必线性相关
B、当r＞s时，向量组Ⅱ必线性相关
C、当r＜s时，向量组Ⅰ必线性相关
D、当r＞s时，向量组Ⅰ必线性相关
答案D
解析 本题考查一组向量能由另一组向量线性表示与它们秩的关系．要求考生掌握若向量组A能由向量组B线性表示，则r(A)≤r(B)；向量组α1，α2，…，αr线性相关r(α1，α2，…，αr)＜r．
向量组Ⅰ的秩记为r(Ⅰ)，Ⅱ的秩记为r(Ⅱ)．由于向量组Ⅰ可由向量组Ⅱ线性表示，所以r(Ⅰ)≤r(Ⅱ)≤s，
若r＞s，则有
    r(Ⅰ)≤s＜r，
故此时向量组Ⅰ必线性相关．故应选D．
也可用下述方法否定A、B、C．
令向量组Ⅰ、Ⅱ分别为
    Ⅰ：(1，0，0)，(0，1，0)．
    Ⅱ：(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)．
显然，向量组Ⅰ可由向量组Ⅱ线性表示，且此时r=2＜s=3，但向量组Ⅰ、Ⅱ均线性无关，故排除选项A、C．
令向量组Ⅰ、Ⅱ分别为
    Ⅰ：(1，0，0)，(2，0，0)．
    Ⅱ：(1，0，0)．
显然，向量组Ⅰ可由向量组Ⅱ线性表示，且此时r=2＞s=1，但向量组Ⅱ线性无关，故排除选项B．
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考研数学二

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