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设向量组Ⅰ:α1,α2,…,αr,可由向量组Ⅱ:β1,β2…,βs线性表示,则( )
设向量组Ⅰ:α1,α2,…,αr,可由向量组Ⅱ:β1,β2…,βs线性表示,则( )
admin
2021-02-25
83
问题
设向量组Ⅰ:α
1
,α
2
,…,α
r
,可由向量组Ⅱ:β
1
,β
2
…,β
s
线性表示,则( )
选项
A、当r<s时,向量组Ⅱ必线性相关
B、当r>s时,向量组Ⅱ必线性相关
C、当r<s时,向量组Ⅰ必线性相关
D、当r>s时,向量组Ⅰ必线性相关
答案
D
解析
本题考查一组向量能由另一组向量线性表示与它们秩的关系.要求考生掌握若向量组A能由向量组B线性表示,则r(A)≤r(B);向量组α
1
,α
2
,…,α
r
线性相关
r(α
1
,α
2
,…,α
r
)<r.
向量组Ⅰ的秩记为r(Ⅰ),Ⅱ的秩记为r(Ⅱ).由于向量组Ⅰ可由向量组Ⅱ线性表示,所以r(Ⅰ)≤r(Ⅱ)≤s,
若r>s,则有
r(Ⅰ)≤s<r,
故此时向量组Ⅰ必线性相关.故应选D.
也可用下述方法否定A、B、C.
令向量组Ⅰ、Ⅱ分别为
Ⅰ:(1,0,0),(0,1,0).
Ⅱ:(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1).
显然,向量组Ⅰ可由向量组Ⅱ线性表示,且此时r=2<s=3,但向量组Ⅰ、Ⅱ均线性无关,故排除选项A、C.
令向量组Ⅰ、Ⅱ分别为
Ⅰ:(1,0,0),(2,0,0).
Ⅱ:(1,0,0).
显然,向量组Ⅰ可由向量组Ⅱ线性表示,且此时r=2>s=1,但向量组Ⅱ线性无关,故排除选项B.
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考研数学二
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