设A=E+αβT,其中α=[a1,a2,…,an]T≠0,β=[b1,b2,…,bn]T≠0,且αTβ=2. (1)求A的特征值和特征向量; (2)求可逆矩阵P,使得P-1AP=A.

admin2020-03-16  32

问题 设A=E+αβT,其中α=[a1,a2,…,an]T≠0,β=[b1,b2,…,bn]T≠0,且αTβ=2.
    (1)求A的特征值和特征向量;
    (2)求可逆矩阵P,使得P-1AP=A.

选项

答案(1)设(E+αβT)ξ=λξ. ① 左乘βT,βT(E+αβT)ξ=(βTTαβT)ξ=(1+βTα)βTξ=λβTξ, 若βTξ≠0,则λ=1+βTα=3; 若βTξ=0,则由①式,λ=1. λ=1时, (E-A)X=一αβTX=[*][b1,b2,…,bn]X=0. 即[b1,b2,…,bn]X=0,因αTβ=2,故α≠0,β≠0,设b1≠0,则 ξ1=[b2,一b1,0,…,0]T,ξ2=[b3,0,一b1,…,0]T,…,ξn-1=[bn,0,…,0,一b1]T; λ=3时, (3E-A)X=(BE-αβT)X=0, ξn=α=[a1,a2…,an]T. (2)取 [*]

解析
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