2. 考研
  3. 设A=E+αβT，其中α=[a1，a2，…，an]T≠0，β=[b1，b2，…，bn]T≠0，且αTβ=2． (1)求A的特征值和特征向量； (2)求可逆矩阵P，使得P-1AP=A．

设A=E+αβT，其中α=[a1，a2，…，an]T≠0，β=[b1，b2，…，bn]T≠0，且αTβ=2． (1)求A的特征值和特征向量； (2)求可逆矩阵P，使得P-1AP=A．

admin2020-03-16  58
问题 设A=E+αβT，其中α=[a1，a2，…，an]T≠0，β=[b1，b2，…，bn]T≠0，且αTβ=2．
    (1)求A的特征值和特征向量；
    (2)求可逆矩阵P，使得P-1AP=A．
选项
答案(1)设(E+αβT)ξ=λξ． ① 左乘βT，βT(E+αβT)ξ=(βT+βTαβT)ξ=(1+βTα)βTξ=λβTξ， 若βTξ≠0，则λ=1+βTα=3； 若βTξ=0，则由①式，λ=1． λ=1时， (E-A)X=一αβTX=[*][b1，b2，…，bn]X=0． 即[b1，b2，…，bn]X=0，因αTβ=2，故α≠0，β≠0，设b1≠0，则 ξ1=[b2，一b1，0，…，0]T，ξ2=[b3，0，一b1，…，0]T，…，ξn-1=[bn，0，…，0，一b1]T； λ=3时， (3E-A)X=(BE-αβT)X=0， ξn=α=[a1,a2…，an]T． (2)取 [*]
解析
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考研数学二

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