二阶微分方程y”=e2y满足条件y(0)=0,y’(0)=1的特解是y=_______．

admin2018-05-23 71

问题二阶微分方程y”=e^2y满足条件y(0)=0,y’(0)=1的特解是y=_______．

选项

答案一ln(1一x)．

解析题设的二阶微分方程不显含自变量x，令y’=p并以y为自变量可降阶为关于p的一阶微分方程．
注意当令y’=p时

=2e^2y，分离变量有2pdp=2e^2ydy，积分即得其通解为p²=e^2y+C．
利用题设的初值知当y=0时p=1，由此可确定常数C=0．于是得到新方程p²=e^2y，因为初值p=1＞0，故可求p＞0的解，即应解微分方程p=e^y，即

分离变量可得e^-ydy=dx，积分即得其通解为e^-y=C₁一x，即y=一ln(C₁一x)．利用初值y(0)=0可确定常数C₁=1，故所求特解是y=一ln(1一x)．

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