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设f(x)在[0,1]上有一阶连续导数,且f(0)=0,∫01xf(x)dx=0. 证明:方程f’(x)=0在(0,1)内至少有一个实根;
设f(x)在[0,1]上有一阶连续导数,且f(0)=0,∫01xf(x)dx=0. 证明:方程f’(x)=0在(0,1)内至少有一个实根;
admin
2022-05-20
36
问题
设f(x)在[0,1]上有一阶连续导数,且f(0)=0,∫
0
1
xf(x)dx=0.
证明:方程f’(x)=0在(0,1)内至少有一个实根;
选项
答案
由推广的积分中值定理,有 ∫
0
1
xf(x)dx-ηf(η)=0,η∈(0,1), 故f(η)=0.又因为f(0)=0,所以在[0,η]上对f(x)应用罗尔定理,有f’(ξ)=0,ξ∈(0,η)[*](0,1). 故方程f’(x)=0在(0,1)内至少有一个实根.
解析
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考研数学三
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