设f(x)在[0，1]上有一阶连续导数，且f(0)=0，∫01xf(x)dx=0．证明：方程f’(x)=0在(0，1)内至少有一个实根；

admin2022-05-20 73

问题设f(x)在[0，1]上有一阶连续导数，且f(0)=0，∫₀¹xf(x)dx=0．
证明：方程f’(x)=0在(0，1)内至少有一个实根；

选项

答案由推广的积分中值定理，有 ∫₀¹xf(x)dx-ηf(η)=0，η∈(0，1)，故f(η)=0．又因为f(0)=0，所以在[0，η]上对f(x)应用罗尔定理，有f’(ξ)=0，ξ∈(0，η)[*](0，1)．故方程f’(x)=0在(0，1)内至少有一个实根．

解析

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