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n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( )
n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( )
admin
2020-03-02
18
问题
n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( )
选项
A、二次型x
T
Ax的负惯性指数为零。
B、存在可逆矩阵P使P
-1
AP=E。
C、存在n阶矩阵C使A=C
T
C。
D、A的伴随矩阵A
*
与E合同。
答案
D
解析
选项(A)是必要不充分条件。这是因为R(f)=p+q≤n。
当q=0时,有R(f)=p≤n。此时有可能p<n,故二次型x
T
Ax不一定是正定二次型。因此矩阵A不一定是正定矩阵。例如f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
1
2
+x
3
2
。
选项(B)是充分不必要条件。这是因为P
-1
AP=E表示A与E相似,即A的特征值全是1,此时A是正定的。但只要A的特征值全大于零就可保证A正定,因此特征值都是1属于不必要条件。
选项(C)中的矩阵C没有可逆的条件,因此对于A=C
T
C不能说A与E合同,也就没有A是正定矩阵的结论。例如
C=
,A=C
T
C=
显然矩阵不正定。
关于选项(D),由于
A正定
A
-1
正定
A
*
正定
A
*
与E合同,所以(D)是充分必要条件。
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考研数学一
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