[2012年] 已知A=,二次型f(x1,x2,x3)=XT(ATA)X的秩为2. (Ⅰ)求实数a的值;(Ⅱ)利用正交变换X=QY将f化为标准形.

admin2019-05-10  77

问题 [2012年]  已知A=,二次型f(x1,x2,x3)=XT(ATA)X的秩为2.
(Ⅰ)求实数a的值;(Ⅱ)利用正交变换X=QY将f化为标准形.

选项

答案 (I)由秩(ATA)=秩(A)=2可求得a的值;(Ⅱ)写出二次型矩阵ATA求出其特征值,将每一个特征值代入(Aλ-AE)X=0求出其基础解系,将基础解系正交规范化,以这些向量为列向量的矩阵即为正交变换Q.这时以特征值为系数的标准形即为所求的标准形. (I)因二次型的秩为2,故秩(ATA)=秩(A)=2,而 [*] 故当a=一1时秩(A)=2,即实数a的值等于一1. (II)令B=ATA=[*],则 [*] =(λ一2)[(λ一2)(λ一4)一8]=λ(λ一2)(λ一6). 故B的特征值为λ1=2,λ2=6,λ3=0. 解(2E—B)X=0,(6E—B)X=0,(0E—B)X=0,得其基础解系分别为 α1=[1,一1,0]T,α2=[1,1,2]T,α3=[1,1,一1]T. 因λ1,λ2,λ3互异,α1,α2,α3必相互正交,只需将其单位化,得 β1=[*][1,一1,0]T,β2=[*][1,1,2]T,β3=[*][1,1,一1]T. 令Q=[β1,β2,β3],则Q为正交矩阵.在正交变换X=QY下,有QTBQ=QT(ATA)Q=Λ,其中对角阵为A=diag(2,6,0).这时,二次型f化为标准形 f(X)=XT(ATA)X=YTΛY=2y12+6y22

解析
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