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  3. [2012年] 已知A=，二次型f(x1，x2，x3)=XT(ATA)X的秩为2． (Ⅰ)求实数a的值；(Ⅱ)利用正交变换X=QY将f化为标准形．

[2012年] 已知A=，二次型f(x1，x2，x3)=XT(ATA)X的秩为2． (Ⅰ)求实数a的值；(Ⅱ)利用正交变换X=QY将f化为标准形．

admin2019-05-10  115
问题 [2012年]  已知A=，二次型f(x1，x2，x3)=XT(ATA)X的秩为2．
(Ⅰ)求实数a的值；(Ⅱ)利用正交变换X=QY将f化为标准形．
选项
答案 (I)由秩(ATA)=秩(A)=2可求得a的值；(Ⅱ)写出二次型矩阵ATA求出其特征值，将每一个特征值代入(Aλ－AE)X=0求出其基础解系，将基础解系正交规范化，以这些向量为列向量的矩阵即为正交变换Q．这时以特征值为系数的标准形即为所求的标准形． (I)因二次型的秩为2，故秩(ATA)=秩(A)=2，而 [*] 故当a=一1时秩(A)=2，即实数a的值等于一1． (II)令B=ATA=[*]，则 [*] =(λ一2)[(λ一2)(λ一4)一8]=λ(λ一2)(λ一6)． 故B的特征值为λ1=2，λ2=6，λ3=0． 解(2E—B)X=0，(6E—B)X=0，(0E—B)X=0，得其基础解系分别为 α1=[1，一1，0]T，α2=[1，1，2]T，α3=[1，1，一1]T． 因λ1，λ2，λ3互异，α1，α2，α3必相互正交，只需将其单位化，得 β1=[*][1，一1，0]T，β2=[*][1，1，2]T，β3=[*][1，1，一1]T． 令Q=[β1，β2，β3]，则Q为正交矩阵．在正交变换X=QY下，有QTBQ=QT(ATA)Q=Λ，其中对角阵为A=diag(2，6，0)．这时，二次型f化为标准形 f(X)=XT(ATA)X=YTΛY=2y12+6y22．
解析
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考研数学二

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