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[2012年] 已知A=,二次型f(x1,x2,x3)=XT(ATA)X的秩为2. (Ⅰ)求实数a的值;(Ⅱ)利用正交变换X=QY将f化为标准形.
[2012年] 已知A=,二次型f(x1,x2,x3)=XT(ATA)X的秩为2. (Ⅰ)求实数a的值;(Ⅱ)利用正交变换X=QY将f化为标准形.
admin
2019-05-10
77
问题
[2012年] 已知A=
,二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=X
T
(A
T
A)X的秩为2.
(Ⅰ)求实数a的值;(Ⅱ)利用正交变换X=QY将f化为标准形.
选项
答案
(I)由秩(A
T
A)=秩(A)=2可求得a的值;(Ⅱ)写出二次型矩阵A
T
A求出其特征值,将每一个特征值代入(Aλ-AE)X=0求出其基础解系,将基础解系正交规范化,以这些向量为列向量的矩阵即为正交变换Q.这时以特征值为系数的标准形即为所求的标准形. (I)因二次型的秩为2,故秩(A
T
A)=秩(A)=2,而 [*] 故当a=一1时秩(A)=2,即实数a的值等于一1. (II)令B=A
T
A=[*],则 [*] =(λ一2)[(λ一2)(λ一4)一8]=λ(λ一2)(λ一6). 故B的特征值为λ
1
=2,λ
2
=6,λ
3
=0. 解(2E—B)X=0,(6E—B)X=0,(0E—B)X=0,得其基础解系分别为 α
1
=[1,一1,0]
T
,α
2
=[1,1,2]
T
,α
3
=[1,1,一1]
T
. 因λ
1
,λ
2
,λ
3
互异,α
1
,α
2
,α
3
必相互正交,只需将其单位化,得 β
1
=[*][1,一1,0]
T
,β
2
=[*][1,1,2]
T
,β
3
=[*][1,1,一1]
T
. 令Q=[β
1
,β
2
,β
3
],则Q为正交矩阵.在正交变换X=QY下,有Q
T
BQ=Q
T
(A
T
A)Q=Λ,其中对角阵为A=diag(2,6,0).这时,二次型f化为标准形 f(X)=X
T
(A
T
A)X=Y
T
ΛY=2y
1
2
+6y
2
2
.
解析
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考研数学二
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