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  3. 就k的不同取值情况，确定方程在开区间内根的个数，并证明你的结论．

就k的不同取值情况，确定方程在开区间内根的个数，并证明你的结论．

admin2014-01-26  39
问题 就k的不同取值情况，确定方程在开区间内根的个数，并证明你的结论．
选项
答案设[*]，则f(x)在[*]上连续． 由[*]，得f(x)在[*]内的唯一驻点[*]． 由于当x∈(0，x0)时，f’(x)＜0，当x∈[*]时，f’(x)＞0，所以f(x)在[0，x0]上单调减少，在[*]上单调增加． 因此x0是f(x)在[*]内的唯一最小值点，最小值为y0＝f(x0)＝[*] 又因[*]，故在[*]内，f(x)的取值范围为[y0，0)． 故当k[*][y0，0)，即k＜y0或k≥0时，原方程在[*]内没有根； 当k＝y0时，原方程在[*]内有唯一根x0； 当是k∈(y0，0)时，原方程在(0，x0)和[*]内各恰有一根，即原方程在[*]内恰有两个不同的根．
解析 [分析]  令，讨论方程f(x)＝k是在开区间内根的个数，实质上只需研究函数f(x)在上图形的特点，f(x)＝k在开区间内根的个数即为直线y＝k与曲线y＝f(x)在区间内交点的个数．
[评注]  讨论方程的根、函数的零点、曲线的交点属于同类题型，是涉及导数应用的综合颢。府予以高度重视．
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考研数学二

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