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  3. (16年)设函数f(χ)连续，且满足∫0χf(χ－t)dt＝∫0χ(χ－t)f(t)dt＋e－χ－1，求f(χ)．

(16年)设函数f(χ)连续，且满足∫0χf(χ－t)dt＝∫0χ(χ－t)f(t)dt＋e－χ－1，求f(χ)．

admin2021-01-25  37
问题 (16年)设函数f(χ)连续，且满足∫0χf(χ－t)dt＝∫0χ(χ－t)f(t)dt＋e－χ－1，求f(χ)．
选项
答案令u＝χ－t，则∫0χf(χ－t)dt＝∫0χ(u)du． 由题设∫0χf(u)du＝χ∫0χf(t)dt－∫0χtf(t)dt＋e－χ－1， 由题设∫0χf(u)du＝χ∫0χf(t)dt－∫0χtf(t)dt＋e－χ－1， 求导得f(χ)＝∫0χf(t)dt－e－χ，且f(0)＝－1． 因此f′(χ)－f(χ)＝e－χ， 从而f(χ)＝e∫dχ(C＋∫e－χe－∫dχdχ) 由f(0)＝－1，得C＝－[*]，所以f(χ)＝－[*](eχ＋e－χ)．
解析
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考研数学三

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