(16年)设函数f(χ)连续，且满足∫0χf(χ－t)dt＝∫0χ(χ－t)f(t)dt＋e－χ－1，求f(χ)．

admin2021-01-25 54

问题 (16年)设函数f(χ)连续，且满足∫₀^χf(χ－t)dt＝∫₀^χ(χ－t)f(t)dt＋e^－χ－1，求f(χ)．

选项

答案令u＝χ－t，则∫₀^χf(χ－t)dt＝∫₀^χ(u)du．由题设∫₀^χf(u)du＝χ∫₀^χf(t)dt－∫₀^χtf(t)dt＋e^－χ－1，由题设∫₀^χf(u)du＝χ∫₀^χf(t)dt－∫₀^χtf(t)dt＋e^－χ－1，求导得f(χ)＝∫₀^χf(t)dt－e^－χ，且f(0)＝－1．因此f′(χ)－f(χ)＝e^－χ，从而f(χ)＝e^∫dχ(C＋∫e^－χe^－∫dχdχ) 由f(0)＝－1，得C＝－[*]，所以f(χ)＝－[*](e^χ＋e^－χ)．

解析

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