设f(x)在(-1,1)内二阶连续可导,且f"(x)≠0,证明: 对(-1,1)内任一点x≠0,存在唯一的θ(x)∈(0,1),使得 f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x].

admin2019-09-23  51

问题 设f(x)在(-1,1)内二阶连续可导,且f"(x)≠0,证明:
对(-1,1)内任一点x≠0,存在唯一的θ(x)∈(0,1),使得
f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x].

选项

答案对任意x∈(-1,1),根据微分中值定理,得 f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x],其中0<θ(x)<1. 因为f"(x)∈C(-1,1)且f"(x)≠0,所以f"(x)在(-1,1)内保号,不妨设f"(x)>0,则f’(x)在(-1,1)内单调增加,又由于x≠0,所以θ(x)是唯一的。

解析
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