设f(x)在（-1,1）内二阶连续可导，且f"(x)≠0,证明：对（-1,1）内任一点x≠0,存在唯一的θ（x)∈(0,1)，使得 f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x].

admin2019-09-23 64

问题设f(x)在（-1,1）内二阶连续可导，且f"(x)≠0,证明：
对（-1,1）内任一点x≠0,存在唯一的θ（x)∈(0,1)，使得
f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x].

选项

答案对任意x∈(-1,1)，根据微分中值定理，得 f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x],其中0＜θ（x)＜1. 因为f"(x)∈C(-1,1)且f"(x)≠0,所以f"(x)在（-1,1）内保号，不妨设f"(x)＞0,则f’(x)在（-1,1）内单调增加，又由于x≠0,所以θ（x)是唯一的。

解析

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考研数学二

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