2. 考研
  3. 设函数f(x，y)满足=(2x+1)e2x－y，且f(0，y)=y+1，是从点(0，0)到点(1，t)的光滑曲线．计算曲线积分I(t)=，并求I(t)的最小值.

设函数f(x，y)满足=(2x+1)e2x－y，且f(0，y)=y+1，是从点(0，0)到点(1，t)的光滑曲线．计算曲线积分I(t)=，并求I(t)的最小值.

admin2021-01-15  50
问题 设函数f(x，y)满足=(2x+1)e2x－y，且f(0，y)=y+1，是从点(0，0)到点(1，t)的光滑曲线．计算曲线积分I(t)=，并求I(t)的最小值.
选项
答案因为[*]=(2x+1)e2x－y，所以 f(x,y)=[*] =∫(2x+1)e2x－ydx =xe2x－y+C(y)． 将f(0，y)=y+1代入上式，得C(y)=y+1． 所以f(x，y)=xe2x－y+y+1． 从而 I(t)=[*]dy=f(1，t)－f(0，0)=e2－t+t. I’(t)=一e2－t+1．令I’(t)=0得t=2． 由于当t<2时，I’(t)<0，I(t)单调减少；当t>2时，I’(t)>0，I(t)单调增加，所以I(2) =3是I(t)在(一∞，+∞)上的最小值．
解析
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考研数学一

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