设函数f(x，y)满足=(2x+1)e2x－y，且f(0，y)=y+1，是从点(0，0)到点(1，t)的光滑曲线．计算曲线积分I(t)=，并求I(t)的最小值.

admin2021-01-15 49

问题设函数f(x，y)满足

=(2x+1)e^2x－y，且f(0，y)=y+1，

是从点(0，0)到点(1，t)的光滑曲线．计算曲线积分I(t)=

，并求I(t)的最小值.

选项

答案因为[*]=(2x+1)e^2x－y，所以 f(x,y)=[*] =∫(2x+1)e^2x－ydx =xe^2x－y+C(y)．将f(0，y)=y+1代入上式，得C(y)=y+1．所以f(x，y)=xe^2x－y+y+1．从而 I(t)=[*]dy=f(1，t)－f(0，0)=e^2－t+t. I’(t)=一e^2－t+1．令I’(t)=0得t=2．由于当t<2时，I’(t)<0，I(t)单调减少；当t>2时，I’(t)>0，I(t)单调增加，所以I(2) =3是I(t)在(一∞，+∞)上的最小值．

解析

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考研数学一

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