设f(x)在(－∞，+∞)内有定义，且对任意x与任意y，满足f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，f’(0)存在且等于a，a≠0．证明：对任意x，f’(x)存在，并求f(x)．

admin2019-07-19 63

问题设f(x)在(－∞，+∞)内有定义，且对任意x与任意y，满足f(x+y)=f(x)e^y+f(y)e^x，f’(0)存在且等于a，a≠0．证明：对任意x，f’(x)存在，并求f(x)．

选项

答案将y=0代入定义式，有f(x)=f(x)+f(0)e^x，所以f(0)=0．于是 [*] =f(x)+e^xf’(0)=f(x)+ae^x．所以对任意x，f’(x)存在，且f’(x)=f(x)+ae^x．解之，得 f(x)=e^x(∫ae^x.e^－xdx+C)=e^x(ax+c)．由f(0)=0，有C=0．从而f(x)=axe^x．

解析

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考研数学一

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