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设f(x)在(-∞,+∞)内有定义,且对任意x与任意y,满足f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex,f’(0)存在且等于a,a≠0.证明:对任意x,f’(x)存在,并求f(x).
设f(x)在(-∞,+∞)内有定义,且对任意x与任意y,满足f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex,f’(0)存在且等于a,a≠0.证明:对任意x,f’(x)存在,并求f(x).
admin
2019-07-19
63
问题
设f(x)在(-∞,+∞)内有定义,且对任意x与任意y,满足f(x+y)=f(x)e
y
+f(y)e
x
,f’(0)存在且等于a,a≠0.证明:对任意x,f’(x)存在,并求f(x).
选项
答案
将y=0代入定义式,有f(x)=f(x)+f(0)e
x
,所以f(0)=0.于是 [*] =f(x)+e
x
f’(0)=f(x)+ae
x
. 所以对任意x,f’(x)存在,且f’(x)=f(x)+ae
x
.解之,得 f(x)=e
x
(∫ae
x
.e
-x
dx+C)=e
x
(ax+c). 由f(0)=0,有C=0.从而f(x)=axe
x
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/9Vc4777K
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考研数学一
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