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  3. 已知齐次线性方程组(I)又已知齐次线性方程组(Ⅱ)的基础解系为ξ1=(2，一1，a，1)T，ξ2=(一1，0，4，a+6)T，试问当a为何值时，方程组(I)和(Ⅱ)有非零公共解?并求出全部非零公共解．

已知齐次线性方程组(I)又已知齐次线性方程组(Ⅱ)的基础解系为ξ1=(2，一1，a，1)T，ξ2=(一1，0，4，a+6)T，试问当a为何值时，方程组(I)和(Ⅱ)有非零公共解?并求出全部非零公共解．

admin2016-01-11  81
问题 已知齐次线性方程组(I)又已知齐次线性方程组(Ⅱ)的基础解系为ξ1=(2，一1，a，1)T，ξ2=(一1，0，4，a+6)T，试问当a为何值时，方程组(I)和(Ⅱ)有非零公共解?并求出全部非零公共解．
选项
答案依题意，齐次线性方程组(Ⅱ)的通解为x=k1ξ1+k2ξ2=(2k1一k2，一k1，ak1+4k2，k1+(a+6)k2)T，k1，k2为任意常数，将其代入方程组(I)中，得[*]方程组(I)、(Ⅱ)有公共的非零解的充分必要条件是方程组(*)有非零解． 于是有[*] 当a=1时，k2=0，当k1≠0，则x=k1ξ1一定是方程组(I)、(Ⅱ)的非零解，即x=k1(2，一1，1，1)T，其中k1为不为零的任意常数．当a=一9时，方程组(*)的系数矩阵的秩为1，方程组(*)有非零解[*]，这时方程组(I)，(Ⅱ)有公共解[*]
解析 本题考查两个齐次线性方程组求非零公共解的问题．
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考研数学二

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