已知齐次线性方程组(I)又已知齐次线性方程组(Ⅱ)的基础解系为ξ1=(2，一1，a，1)T，ξ2=(一1，0，4，a+6)T，试问当a为何值时，方程组(I)和(Ⅱ)有非零公共解?并求出全部非零公共解．

admin2016-01-11 37

问题已知齐次线性方程组(I)

又已知齐次线性方程组(Ⅱ)的基础解系为ξ₁=(2，一1，a，1)^T，ξ₂=(一1，0，4，a+6)^T，试问当a为何值时，方程组(I)和(Ⅱ)有非零公共解?并求出全部非零公共解．

选项

答案依题意，齐次线性方程组(Ⅱ)的通解为x=k₁ξ₁+k₂ξ₂=(2k₁一k₂，一k₁，ak₁+4k₂，k₁+(a+6)k₂)^T，k₁，k₂为任意常数，将其代入方程组(I)中，得[*]方程组(I)、(Ⅱ)有公共的非零解的充分必要条件是方程组(*)有非零解．于是有[*] 当a=1时，k₂=0，当k₁≠0，则x=k₁ξ₁一定是方程组(I)、(Ⅱ)的非零解，即x=k₁(2，一1，1，1)^T，其中k₁为不为零的任意常数．当a=一9时，方程组(*)的系数矩阵的秩为1，方程组(*)有非零解[*]，这时方程组(I)，(Ⅱ)有公共解[*]

解析本题考查两个齐次线性方程组求非零公共解的问题．

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考研数学二

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已知齐次线性方程组(I)又已知齐次线性方程组(Ⅱ)的基础解系为ξ1=(2，一1，a，1)T，ξ2=(一1，0，4，a+6)T，试问当a为何值时，方程组(I)和(Ⅱ)有非零公共解?并求出全部非零公共解．

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