2. 考研
  3. 设A是3阶矩阵，ξ1＝(1，2，－2)T，ξ2＝(2，1，一1)T，ξ3＝(1，1，t)T是非齐次线性方程组Ax＝b的解向量，其中b＝(1，3，－2)T，则 ( )

设A是3阶矩阵，ξ1＝(1，2，－2)T，ξ2＝(2，1，一1)T，ξ3＝(1，1，t)T是非齐次线性方程组Ax＝b的解向量，其中b＝(1，3，－2)T，则 ( )

admin2019-01-24  86
问题 设A是3阶矩阵，ξ1＝(1，2，－2)T，ξ2＝(2，1，一1)T，ξ3＝(1，1，t)T是非齐次线性方程组Ax＝b的解向量，其中b＝(1，3，－2)T，则    (    )
选项 A、t＝－l时，必有r(A)＝1．
B、t＝－1时，必有r(A)＝2．
C、t≠－1时，必有r(A)＝1．
D、t≠－1时，必有r(A)＝2．
答案C
解析  记B＝(ξ1，ξ2，ξ3)＝．
法一  由ξ1，ξ2，ξ3是Ax＝b的解向量，t≠－1时，r(B)＝3，知ξ1，ξ2，ξ3线性无关，ξ1－ξ2，ξ2－ξ3是对应齐次方程组Ax＝0的两个线性无关解，故r(A)≤1，但A≠O(若A＝O，则Ax＝b无解，这和题设条件矛盾)，故必有r(A)＝1，故应选(C)．
法二  Aξi＝b(i＝1，2，3)，故有A(ξ1，ξ2，ξ3)＝AB＝＝(b，b，b)．
当t＝－1时，有ξ1＋ξ2＝3ξ3，而A(ξ1＋ξ2)＝Aξ1＋Aξ2＝b＋b＝2b≠A·(3ξ3)＝3b，所以
t＝－1不符合题意，故(A)，(B)都不成立．
当t≠－1时，r(B)＝3，则B是可逆矩阵，故r(A)＝r(AB)＝r(b，b，b)＝1．
故(C)成立，则(D)必不成立．
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考研数学一

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