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设A是3阶矩阵,ξ1=(1,2,-2)T,ξ2=(2,1,一1)T,ξ3=(1,1,t)T是非齐次线性方程组Ax=b的解向量,其中b=(1,3,-2)T,则 ( )
设A是3阶矩阵,ξ1=(1,2,-2)T,ξ2=(2,1,一1)T,ξ3=(1,1,t)T是非齐次线性方程组Ax=b的解向量,其中b=(1,3,-2)T,则 ( )
admin
2019-01-24
109
问题
设A是3阶矩阵,ξ
1
=(1,2,-2)
T
,ξ
2
=(2,1,一1)
T
,ξ
3
=(1,1,t)
T
是非齐次线性方程组Ax=b的解向量,其中b=(1,3,-2)
T
,则 ( )
选项
A、t=-l时,必有r(A)=1.
B、t=-1时,必有r(A)=2.
C、t≠-1时,必有r(A)=1.
D、t≠-1时,必有r(A)=2.
答案
C
解析
记B=(ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
)=
.
法一 由ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
是Ax=b的解向量,t≠-1时,r(B)=3,知ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
线性无关,ξ
1
-ξ
2
,ξ
2
-ξ
3
是对应齐次方程组Ax=0的两个线性无关解,故r(A)≤1,但A≠O(若A=O,则Ax=b无解,这和题设条件矛盾),故必有r(A)=1,故应选(C).
法二 Aξ
i
=b(i=1,2,3),故有A(ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
)=AB=
=(b,b,b).
当t=-1时,有ξ
1
+ξ
2
=3ξ
3
,而A(ξ
1
+ξ
2
)=Aξ
1
+Aξ
2
=b+b=2b≠A·(3ξ
3
)=3b,所以
t=-1不符合题意,故(A),(B)都不成立.
当t≠-1时,r(B)=3,则B是可逆矩阵,故r(A)=r(AB)=r(b,b,b)=1.
故(C)成立,则(D)必不成立.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/IvM4777K
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考研数学一
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