设A是3阶矩阵,ξ1=(1,2,-2)T,ξ2=(2,1,一1)T,ξ3=(1,1,t)T是非齐次线性方程组Ax=b的解向量,其中b=(1,3,-2)T,则 ( )

admin2019-01-24  75

问题 设A是3阶矩阵,ξ1=(1,2,-2)T,ξ2=(2,1,一1)T,ξ3=(1,1,t)T是非齐次线性方程组Ax=b的解向量,其中b=(1,3,-2)T,则    (    )

选项 A、t=-l时,必有r(A)=1.
B、t=-1时,必有r(A)=2.
C、t≠-1时,必有r(A)=1.
D、t≠-1时,必有r(A)=2.

答案C

解析  记B=(ξ1,ξ2,ξ3)=
法一  由ξ1,ξ2,ξ3是Ax=b的解向量,t≠-1时,r(B)=3,知ξ1,ξ2,ξ3线性无关,ξ1-ξ2,ξ2-ξ3是对应齐次方程组Ax=0的两个线性无关解,故r(A)≤1,但A≠O(若A=O,则Ax=b无解,这和题设条件矛盾),故必有r(A)=1,故应选(C).
法二  Aξi=b(i=1,2,3),故有A(ξ1,ξ2,ξ3)=AB==(b,b,b).
当t=-1时,有ξ1+ξ2=3ξ3,而A(ξ1+ξ2)=Aξ1+Aξ2=b+b=2b≠A·(3ξ3)=3b,所以
t=-1不符合题意,故(A),(B)都不成立.
当t≠-1时,r(B)=3,则B是可逆矩阵,故r(A)=r(AB)=r(b,b,b)=1.
故(C)成立,则(D)必不成立.
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