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设f(x)有界,且f’(x)连续,对任意的x∈(一∞,+∞)有|f(x)+f’(x)|≤1.证明:|f(x)|≤1.
设f(x)有界,且f’(x)连续,对任意的x∈(一∞,+∞)有|f(x)+f’(x)|≤1.证明:|f(x)|≤1.
admin
2017-08-31
16
问题
设f(x)有界,且f
’
(x)连续,对任意的x∈(一∞,+∞)有|f(x)+f
’
(x)|≤1.证明:|f(x)|≤1.
选项
答案
令φ(x)=e
x
f(x),则φ
’
(x)=e
x
[f(x)+f
’
(x)], 由|f(x)+f
’
(x)|≤1得|φ
’
(x)|≤e
x
,又由f(x)有界得φ(一∞)=0,则 φ(x)=φ(x)一φ(-∞)=∫
-∞
x
φ
’
(x)dx,两边取绝对值得 e
x
|f(x)|≤∫
-∞
x
|φ
’
(x)|dx≤∫
-∞
x
e
x
dx=e
x
,所以|f(x)|≤1.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Omr4777K
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考研数学一
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