已知A是3阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的3维列向量组,满足Aα1=-α1-3α2-3α3,Aα2=4α1+4α2+α3),Aα3=-2α1+3α3。 (Ⅰ)求A的特征值; (Ⅱ)求A的特征向量; (Ⅲ)求A*-6E的秩。

admin2018-11-16  28

问题 已知A是3阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的3维列向量组,满足Aα1=-α1-3α2-3α3,Aα2=4α1+4α23),Aα3=-2α1+3α3
(Ⅰ)求A的特征值;
(Ⅱ)求A的特征向量;
(Ⅲ)求A*-6E的秩。

选项

答案(Ⅰ)记P=(α1,α2,α3),因为α1,α2,α3是线性无关,所以P是可逆矩阵。AP=(Aα1,Aα2,Aα3)=(-α1-3α2-3α3,4α1+4α23,-α1,+3α3)=(α1,α2,α3)[*](此处用了矩阵分解)。记B=[*],则AP=PB,即p-1AP=B,A与B相似,特征值一样,求B的特征多项式[*]。得A的特征值为1,2,3。 (Ⅱ)先求B的特征向量,用P左乘之得到A的特征向量。(如果Bη=λη,则p-1APη=λη,即A(Pη)=λ(Pη)。) 对于特征值1:[*],B的属于特征值1的特征向量(即(B-E)x=0的非零解)为c(1,1,1)T,c≠0。则A的属于特征值1的特征向量为c(α123)T,c≠0。 对于特征值2:[*],B的属于特征值2的特征向量(即(B-2E)x=0的非零解)为c(2,3,3)T,c≠0。则A的属于特征值2的特征向量为c(2α1+3α2+3α3)T,c≠0。 对于特征值3:[*],B的属于特征值3的特征向量(即(B-3E)x=0的非零解)为c(1,3,4)T,c≠0。则A的属于特征值3的特征向量为c(α1+3α2+4α3)T,c≠0。 (Ⅲ)由A的特征值为1,2,3,︱A︱=6,于是A*的特征值为6,3,2,A*-6E的特征值为0,-3,-4。 于是A*-6E~[*],r(A*-6E)=2。

解析
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