2. 考研
  3. 已知A是3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量组，满足Aα1=-α1-3α2-3α3，Aα2=4α1+4α2+α3)，Aα3=-2α1+3α3。 (Ⅰ)求A的特征值； (Ⅱ)求A的特征向量； (Ⅲ)求A*-6E的秩。

已知A是3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量组，满足Aα1=-α1-3α2-3α3，Aα2=4α1+4α2+α3)，Aα3=-2α1+3α3。 (Ⅰ)求A的特征值； (Ⅱ)求A的特征向量； (Ⅲ)求A*-6E的秩。

admin2018-11-16  43
问题 已知A是3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量组，满足Aα1=-α1-3α2-3α3，Aα2=4α1+4α2+α3)，Aα3=-2α1+3α3。
(Ⅰ)求A的特征值；
(Ⅱ)求A的特征向量；
(Ⅲ)求A*-6E的秩。
选项
答案(Ⅰ)记P=(α1，α2，α3)，因为α1，α2，α3是线性无关，所以P是可逆矩阵。AP=(Aα1，Aα2，Aα3)=(-α1-3α2-3α3，4α1+4α2+α3，-α1，+3α3)=(α1，α2，α3)[*](此处用了矩阵分解)。记B=[*]，则AP=PB，即p-1AP=B，A与B相似，特征值一样，求B的特征多项式[*]。得A的特征值为1，2，3。 (Ⅱ)先求B的特征向量，用P左乘之得到A的特征向量。(如果Bη=λη，则p-1APη=λη，即A(Pη)=λ(Pη)。) 对于特征值1：[*]，B的属于特征值1的特征向量(即(B-E)x=0的非零解)为c(1，1，1)T，c≠0。则A的属于特征值1的特征向量为c(α1+α2+α3)T，c≠0。 对于特征值2：[*]，B的属于特征值2的特征向量(即(B-2E)x=0的非零解)为c(2，3，3)T，c≠0。则A的属于特征值2的特征向量为c(2α1+3α2+3α3)T，c≠0。 对于特征值3：[*]，B的属于特征值3的特征向量(即(B-3E)x=0的非零解)为c(1，3，4)T，c≠0。则A的属于特征值3的特征向量为c(α1+3α2+4α3)T，c≠0。 (Ⅲ)由A的特征值为1，2，3，︱A︱=6，于是A*的特征值为6，3，2，A*-6E的特征值为0，-3，-4。 于是A*-6E～[*]，r(A*-6E)=2。
解析
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考研数学三

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