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已知A是3阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的3维列向量组,满足Aα1=-α1-3α2-3α3,Aα2=4α1+4α2+α3),Aα3=-2α1+3α3。 (Ⅰ)求A的特征值; (Ⅱ)求A的特征向量; (Ⅲ)求A*-6E的秩。
已知A是3阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的3维列向量组,满足Aα1=-α1-3α2-3α3,Aα2=4α1+4α2+α3),Aα3=-2α1+3α3。 (Ⅰ)求A的特征值; (Ⅱ)求A的特征向量; (Ⅲ)求A*-6E的秩。
admin
2018-11-16
48
问题
已知A是3阶矩阵,α
1
,α
2
,α
3
是线性无关的3维列向量组,满足Aα
1
=-α
1
-3α
2
-3α
3
,Aα
2
=4α
1
+4α
2
+α
3
),Aα
3
=-2α
1
+3α
3
。
(Ⅰ)求A的特征值;
(Ⅱ)求A的特征向量;
(Ⅲ)求A
*
-6E的秩。
选项
答案
(Ⅰ)记P=(α
1
,α
2
,α
3
),因为α
1
,α
2
,α
3
是线性无关,所以P是可逆矩阵。AP=(Aα
1
,Aα
2
,Aα
3
)=(-α
1
-3α
2
-3α
3
,4α
1
+4α
2
+α
3
,-α
1
,+3α
3
)=(α
1
,α
2
,α
3
)[*](此处用了矩阵分解)。记B=[*],则AP=PB,即p
-1
AP=B,A与B相似,特征值一样,求B的特征多项式[*]。得A的特征值为1,2,3。 (Ⅱ)先求B的特征向量,用P左乘之得到A的特征向量。(如果Bη=λη,则p
-1
APη=λη,即A(Pη)=λ(Pη)。) 对于特征值1:[*],B的属于特征值1的特征向量(即(B-E)x=0的非零解)为c(1,1,1)
T
,c≠0。则A的属于特征值1的特征向量为c(α
1
+α
2
+α
3
)
T
,c≠0。 对于特征值2:[*],B的属于特征值2的特征向量(即(B-2E)x=0的非零解)为c(2,3,3)
T
,c≠0。则A的属于特征值2的特征向量为c(2α
1
+3α
2
+3α
3
)
T
,c≠0。 对于特征值3:[*],B的属于特征值3的特征向量(即(B-3E)x=0的非零解)为c(1,3,4)
T
,c≠0。则A的属于特征值3的特征向量为c(α
1
+3α
2
+4α
3
)
T
,c≠0。 (Ⅲ)由A的特征值为1,2,3,︱A︱=6,于是A
*
的特征值为6,3,2,A
*
-6E的特征值为0,-3,-4。 于是A
*
-6E~[*],r(A
*
-6E)=2。
解析
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考研数学三
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