某服务台顾客等待服务时间X服从参数为λ的指数分布，服务时间Y在(0，20)上服从均匀分布，X与Y相互独立，记Z=X+Y． (Ⅰ)求Z的概率密度函数fZ(z)； (Ⅱ)已知顾客平均等待时间为20，求P{Z≤40}．

admin2020-09-23 31

问题某服务台顾客等待服务时间X服从参数为λ的指数分布，服务时间Y在(0，20)上服从均匀分布，X与Y相互独立，记Z=X+Y．
(Ⅰ)求Z的概率密度函数f_Z(z)；
(Ⅱ)已知顾客平均等待时间为20，求P{Z≤40}．

选项

答案(I)由已知条件知，X～E(λ)，Y～U(0，20)，X，Y的概率密度分别为 [*] 由于X与Y相互独立，则(X，Y)的概率密度为 [*] 先求Z的分布函数F_Z(z)． F_Z(z)=P{Z≤z)=P{X+Y≤z}=[*] 如右图所示，当z≤0时，F_Z(z)=0；当0＜z＜20时， [*] 故Z的概率密度函数为 [*] (Ⅱ)由已知条件知E(X)=[*]=20，则λ=[*]于是所求概率为 P{Z≤40}=F_Z(40)=1一e^-1+e^-2.

解析

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考研数学一

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某服务台顾客等待服务时间X服从参数为λ的指数分布，服务时间Y在(0，20)上服从均匀分布，X与Y相互独立，记Z=X+Y． (Ⅰ)求Z的概率密度函数fZ(z)； (Ⅱ)已知顾客平均等待时间为20，求P{Z≤40}．

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