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设f(x)在区间[a,b]上阶连续可导,证明:存在ξ∈(a,b),使得∫abf(x)dx=(b-a)f’’(ξ).
设f(x)在区间[a,b]上阶连续可导,证明:存在ξ∈(a,b),使得∫abf(x)dx=(b-a)f’’(ξ).
admin
2018-05-23
51
问题
设f(x)在区间[a,b]上阶连续可导,证明:存在ξ∈(a,b),使得∫
a
b
f(x)dx=(b-a)
f
’’
(ξ).
选项
答案
令F(x)=∫
a
x
f(t)dt,则F(x)在[a,b]上三阶连续可导,取x
0
=[*],由泰勒公式得 F(a)=F(x
0
)+F
’
(x
0
)(a一x
0
)+[*](a一x
0
)
3
,ξ
1
∈(a,x
0
), F(b)=F(x
0
)+F
’
(x
0
)(b一x
0
)+[*](b一x
0
)
3
,ξ
2
∈(x
0
,b), 两式相减得F(b)一F(a)=F
’
(x
0
)(b一a)+[*][F
’’’
(ξ
1
)+F
’’’
(ξ
2
)],即 ∫
a
b
f(x)=(b一a)[*][f
’’
(ξ
1
)+f
’’
(ξ
2
)], 因为f
’’
(x)在[a,b]上连续,所以存在ξ∈[ξ
1
,ξ
2
][*](a,b),使得 f
’’
(ξ)=[*][f
’’
(ξ
1
)+f
’’
(ξ
2
)],从而 ∫
a
b
f(x)dx=(b一a)[*]=f
’’
(ξ).
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/J1g4777K
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考研数学一
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