设函数f(x)可导且0≤f’(x)≤(k>0),对任意的xn,作xn+1=f(xn)(n=0,1,2,…),证明:存在且满足方程f(x)=x.

admin2019-11-25  38

问题 设函数f(x)可导且0≤f’(x)≤(k>0),对任意的xn,作xn+1=f(xn)(n=0,1,2,…),证明:存在且满足方程f(x)=x.

选项

答案xn+1-xn=f(xn)-f(xn-1)=f’(ξn)(xn-xn-1),因为f’(x)≥0,所以xn+1-xn与xn-xn-1同号,故{xn}单调. |xn|=|f(xn-1|=|f(x1)+[*]f’(x)dx| ≤|f(x1)|+|[*]f’(x)dx|≤|f(x1)|+[*]dx=|f(x1)|+πk, 即{xn}有界,于是[*]xn存在, 根据f(x)的可导性得f(x)处处连续,等式xn+1=f(xn)两边令n→∞,得 [*]xn=f([*]xn),原命题得证.

解析
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