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方程∫0x+∫cosx0e-t2dt=0根的个数为( )
方程∫0x+∫cosx0e-t2dt=0根的个数为( )
admin
2019-01-19
54
问题
方程∫
0
x
+∫
cosx
0
e
-t
2
dt=0根的个数为( )
选项
A、0。
B、1。
C、2。
D、3。
答案
B
解析
设F(x)=∫
0
x
+∫
0
cosx
e
-t
2
dt,则F(x)在(一∞,+∞)内连续,又F(0)=∫
1
0
e
-t
2
dt<0,F
>0,由零点定理得F(x)=0至少有一个根。
又易知
F'(x)=
+e
-cos
2
x
sinx.
且当x∈(一∞,+∞)时,
≥1(等号仅当x=0成立),又0<e
-cos
2
x
≤1,一1≤sinx≤1,所以有一1≤e
-cos
2
x
sinx≤1,又F'(0)=1>0,因此F'(x)>0,从而有F(x)在(一∞,+∞)严格单调递增,由此F(x)=0最多有一个实根。
综上,F(x)=0在(一∞,+∞)上有且仅有一个实根,故选B。
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考研数学三
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