方程∫0x+∫cosx0e-t2dt=0根的个数为( )

admin2019-01-19 78

问题方程∫₀^x

+∫_cosx⁰e^-t²dt=0根的个数为( )

选项 A、0。
B、1。
C、2。
D、3。

答案B

解析设F(x)=∫₀^x

+∫₀^cosxe^-t²dt，则F(x)在(一∞，+∞)内连续，又F(0)=∫₁⁰e^-t²dt<0,F

>0，由零点定理得F(x)=0至少有一个根。
又易知
F＇(x)=

+e^-cos²xsinx．
且当x∈(一∞，+∞)时，

≥1(等号仅当x=0成立)，又0＜e^-cos²x≤1，一1≤sinx≤1，所以有一1≤e^-cos²xsinx≤1，又F＇(0)=1>0，因此F＇(x)>0，从而有F(x)在(一∞，+∞)严格单调递增，由此F(x)=0最多有一个实根。
综上，F(x)=0在(一∞，+∞)上有且仅有一个实根，故选B。

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