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  3. 方程∫0x+∫cosx0e-t2dt=0根的个数为( )

方程∫0x+∫cosx0e-t2dt=0根的个数为( )

admin2019-01-19  54
问题 方程∫0x+∫cosx0e-t2dt=0根的个数为(    )
选项 A、0。
B、1。
C、2。
D、3。
答案B
解析 设F(x)=∫0x+∫0cosxe-t2dt，则F(x)在(一∞，+∞)内连续，又F(0)=∫10e-t2dt<0,F>0，由零点定理得F(x)=0至少有一个根。
又易知
F＇(x)=+e-cos2xsinx．
且当x∈(一∞，+∞)时，≥1(等号仅当x=0成立)，又0＜e-cos2x≤1，一1≤sinx≤1，所以有一1≤e-cos2xsinx≤1，又F＇(0)=1>0，因此F＇(x)>0，从而有F(x)在(一∞，+∞)严格单调递增，由此F(x)=0最多有一个实根。
    综上，F(x)=0在(一∞，+∞)上有且仅有一个实根，故选B。
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考研数学三

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