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(16年)已知函数f(x)在(一∞,+∞)上连续,且f(x)=(x+1)2+2∫0fxf(t)dt,则当n≥2时,f(n)(0)=________.
(16年)已知函数f(x)在(一∞,+∞)上连续,且f(x)=(x+1)2+2∫0fxf(t)dt,则当n≥2时,f(n)(0)=________.
admin
2021-01-19
71
问题
(16年)已知函数f(x)在(一∞,+∞)上连续,且f(x)=(x+1)
2
+2∫
0
f
x
f(t)dt,则当n≥2时,f
(n)
(0)=________.
选项
答案
5.2
n-1
.
解析
等式f(x)=(x+1)
2
+2∫
0
x
f(t)dt两边对x求导得
f’(x)=2(x+1)+2f(x), f’(0)=2+2f(0)=4
f”(x)=2+2f’(x). f”(0)=2+2f’(0)=10
f"’(x)=2.f"(x)
f
(n)
(x)=2f
(n-1)
(x)=2
2
f
(n-2)
(x)=…=2
n-2
f"(x) (n>2)
f
(n)
(0)=2
n-2
f”(0) (n>2)
=2
n-2
.10=2
n-1
.5
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考研数学二
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