2. 考研
  3. (16年)已知函数f(x)在(一∞，+∞)上连续，且f(x)=(x+1)2+2∫0fxf(t)dt，则当n≥2时，f(n)(0)=________．

(16年)已知函数f(x)在(一∞，+∞)上连续，且f(x)=(x+1)2+2∫0fxf(t)dt，则当n≥2时，f(n)(0)=________．

admin2021-01-19  56
问题 (16年)已知函数f(x)在(一∞，+∞)上连续，且f(x)=(x+1)2+2∫0fxf(t)dt，则当n≥2时，f(n)(0)=________．
选项
答案5.2n-1．
解析 等式f(x)=(x+1)2+2∫0xf(t)dt两边对x求导得
  f’(x)=2(x+1)+2f(x)，  f’(0)=2+2f(0)=4
  f”(x)=2+2f’(x)．   f”(0)=2+2f’(0)=10
   f"’(x)=2．f"(x)
  f(n)(x)=2f(n-1)(x)=22f(n-2)(x)=…=2n-2f"(x)  (n＞2)
  f(n)(0)=2n-2f”(0)  (n＞2)
    =2n-2.10=2n-1.5
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考研数学二

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