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  3. 过坐标原点作曲线y＝ex的切线，该切线与曲线y＝ex以及x轴围成的向z轴负向无限伸展的平面图形记为D．求： (I)D的面积A； (Ⅱ)D绕直线X＝1旋转一周所成的旋转体的体积V．

过坐标原点作曲线y＝ex的切线，该切线与曲线y＝ex以及x轴围成的向z轴负向无限伸展的平面图形记为D．求： (I)D的面积A； (Ⅱ)D绕直线X＝1旋转一周所成的旋转体的体积V．

admin2018-12-21  64
问题 过坐标原点作曲线y＝ex的切线，该切线与曲线y＝ex以及x轴围成的向z轴负向无限伸展的平面图形记为D．求：
(I)D的面积A；
(Ⅱ)D绕直线X＝1旋转一周所成的旋转体的体积V．
选项
答案如图所示，设切点坐标为P(x0，y0)，于是曲线y＝ex在点P的切线斜率为y’(x0)＝ex0，切线方程为y－y0＝ex0(x－x0)．它经过点(0，0)，所以－y0＝－x0ex0．又因y0＝ex0，代入求得x0＝1，从而y0＝ex0＝e，切线方程为y＝ex． [*] (I)取水平条面积元素，则D的面积[*] (积分∫0eln ydy为反常积分，根据洛必达法则得到[*]yln y＝0)． (Ⅱ)D绕直线x＝1旋转一周所成的旋转体的体积微元为 [*]
解析
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考研数学二

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