(2012年)已经知A＝，二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χT(ATA)χ的秩为2． (Ⅰ)求实数a的值； (Ⅱ)求正交变换χ＝Qy将f化为标准形．

admin2016-05-30 71

问题 (2012年)已经知A＝

，二次型f(χ₁，χ₂，χ₃)＝χ^T(A^TA)χ的秩为2．
(Ⅰ)求实数a的值；
(Ⅱ)求正交变换χ＝Qy将f化为标准形．

选项

答案(Ⅰ)因为r(A^TA)＝r(A)，对A施以初等行变换 [*] 可见当a＝－1时，r(A)＝2，所以a＝－1． (Ⅱ) 由于a＝－1，所以A^TA＝[*]．矩阵A^TA的特征多项式为｜λE－A^TA｜＝[*] ＝(λ－2)(λ²－6λ)＝λ(λ－2)(λ－6)，于是得A^TA的特征值为λ₁＝2，λ₂＝6，λ₃＝0．对于λ₁＝2，由求方程组(2E－A^TA)χ＝0的一个非零解，可得属于λ₁＝2的一个单位特征向量[*](1，－1，0)^T；对于λ₂＝6，由求方程组(6E－A^TA)χ＝0的一个非零解，可得属于λ₂＝6的一个单位特征向量[*](1，1，2)^T；对于λ₃＝0，由求方程组(A^TA)χ＝0的一个非零解，可得属于λ₃＝0的一个单位特征向量[*](1，1，－1)^T．令矩阵Q＝[*] 则f在正交变换χ＝Qy下的标准形为f＝2y₁²＋6y₂²．

解析

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考研数学二

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