2. 考研
  3. (2012年)已经知A＝，二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χT(ATA)χ的秩为2． (Ⅰ)求实数a的值； (Ⅱ)求正交变换χ＝Qy将f化为标准形．

(2012年)已经知A＝，二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χT(ATA)χ的秩为2． (Ⅰ)求实数a的值； (Ⅱ)求正交变换χ＝Qy将f化为标准形．

admin2016-05-30  109
问题 (2012年)已经知A＝，二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χT(ATA)χ的秩为2．
    (Ⅰ)求实数a的值；
    (Ⅱ)求正交变换χ＝Qy将f化为标准形．
选项
答案(Ⅰ)因为r(ATA)＝r(A)，对A施以初等行变换 [*] 可见当a＝－1时，r(A)＝2，所以a＝－1． (Ⅱ) 由于a＝－1，所以ATA＝[*]．矩阵ATA的特征多项式为 ｜λE－ATA｜＝[*] ＝(λ－2)(λ2－6λ)＝λ(λ－2)(λ－6)， 于是得ATA的特征值为λ1＝2，λ2＝6，λ3＝0． 对于λ1＝2，由求方程组(2E－ATA)χ＝0的一个非零解，可得属于λ1＝2的一个单位特征向量[*](1，－1，0)T； 对于λ2＝6，由求方程组(6E－ATA)χ＝0的一个非零解，可得属于λ2＝6的一个单位特征向量[*](1，1，2)T； 对于λ3＝0，由求方程组(ATA)χ＝0的一个非零解，可得属于λ3＝0的一个单位特征向量[*](1，1，－1)T． 令矩阵Q＝[*] 则f在正交变换χ＝Qy下的标准形为f＝2y12＋6y22．
解析
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考研数学二

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