2. 考研
  3. 设函数f0(x)在(－∞，＋∞)内连续，fn(x)＝∫0xfn－1(t)dt(n＝1，2，…)． (1)证明：fn(x)＝∫0x(t)(x－t)n－1dt(n＝1，2，…)； (2)证明：fn(x)绝对收敛．

设函数f0(x)在(－∞，＋∞)内连续，fn(x)＝∫0xfn－1(t)dt(n＝1，2，…)． (1)证明：fn(x)＝∫0x(t)(x－t)n－1dt(n＝1，2，…)； (2)证明：fn(x)绝对收敛．

admin2018-01-23  82
问题 设函数f0(x)在(－∞，＋∞)内连续，fn(x)＝∫0xfn－1(t)dt(n＝1，2，…)．
(1)证明：fn(x)＝∫0x(t)(x－t)n－1dt(n＝1，2，…)；
(2)证明：fn(x)绝对收敛．
选项
答案(1)n＝1时，f1(x)＝∫0xf0(t)dt，等式成立； 设n＝k时，fk(x)＝[*]∫0xf0(t)(x－t)k－1dt， 则n＝k＋1时，fk＋1(x)＝∫0xfk(t)dt＝∫0xdt∫0t[*]f0(u)(t－u)k－1du ＝[*]∫0xdu∫uxf0(u)(t－u)k－1dt＝[*]∫0xf0(u)(x－u)kdu 由归纳法得fn(x)＝[*]∫0xf0(t)(x－t)n－1dt(n＝1，2，…)． (2)对任意的x∈(－∞，＋∞)，f0(t)在[0，x]或[x，0]上连续，于是存在M＞0(M与x 有关)，使得｜f0(t)｜≤M(t∈[0，x]或t∈[x，0])，于是 ｜fn(x)｜≤[*]｜∫0x(x－t)n－1dt｜＝[*]｜x｜n 因为[*]收敛，根据比较审敛法知[*]绝对收敛．
解析
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考研数学三

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