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设函数f0(x)在(-∞,+∞)内连续,fn(x)=∫0xfn-1(t)dt(n=1,2,…). (1)证明:fn(x)=∫0x(t)(x-t)n-1dt(n=1,2,…); (2)证明:fn(x)绝对收敛.
设函数f0(x)在(-∞,+∞)内连续,fn(x)=∫0xfn-1(t)dt(n=1,2,…). (1)证明:fn(x)=∫0x(t)(x-t)n-1dt(n=1,2,…); (2)证明:fn(x)绝对收敛.
admin
2018-01-23
63
问题
设函数f
0
(x)在(-∞,+∞)内连续,f
n
(x)=∫
0
x
f
n-1
(t)dt(n=1,2,…).
(1)证明:f
n
(x)=
∫
0
x
(t)(x-t)
n-1
dt(n=1,2,…);
(2)证明:
f
n
(x)绝对收敛.
选项
答案
(1)n=1时,f
1
(x)=∫
0
x
f
0
(t)dt,等式成立; 设n=k时,f
k
(x)=[*]∫
0
x
f
0
(t)(x-t)
k-1
dt, 则n=k+1时,f
k+1
(x)=∫
0
x
f
k
(t)dt=∫
0
x
dt∫
0
t
[*]f
0
(u)(t-u)
k-1
du =[*]∫
0
x
du∫
u
x
f
0
(u)(t-u)
k-1
dt=[*]∫
0
x
f
0
(u)(x-u)
k
du 由归纳法得f
n
(x)=[*]∫
0
x
f
0
(t)(x-t)
n-1
dt(n=1,2,…). (2)对任意的x∈(-∞,+∞),f
0
(t)在[0,x]或[x,0]上连续,于是存在M>0(M与x 有关),使得|f
0
(t)|≤M(t∈[0,x]或t∈[x,0]),于是 |f
n
(x)|≤[*]|∫
0
x
(x-t)
n-1
dt|=[*]|x|
n
因为[*]收敛,根据比较审敛法知[*]绝对收敛.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/JAX4777K
0
考研数学三
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