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已知n(n≥4)维向量组(Ⅰ)α1，α2线性无关，(II)β1，β2线性无关，且α1，α2分别与β1，β2正交，证明：α1，α2，β1，β2线性无关．
已知n(n≥4)维向量组(Ⅰ)α1，α2线性无关，(II)β1，β2线性无关，且α1，α2分别与β1，β2正交，证明：α1，α2，β1，β2线性无关．
admin
2019-02-26
39
问题
已知n(n≥4)维向量组(Ⅰ)α
1
，α
2
线性无关，(II)β
1
，β
2
线性无关，且α
1
，α
2
分别与β
1
，β
2
正交，证明：α
1
，α
2
，β
1
，β
2
线性无关．
选项
答案
考察 k
1
α
1
+k
2
α
2
+λ
1
β
1
+λ
2
β
2
=0． 两边分别对α
1
，α
2
作内积，由于(α
1
，β
1
)=0，(α
1
，β
2
)=0，(α
2
，β
1
)=0，(α
2
，β
2
)=0， 故得齐次方程组 [*] 由于方程组的系数行列式为 [*] =(α
1
，α
1
)(α
2
，α
2
)－(α
1
，α
2
)
2
， 根据柯西一施瓦兹不等式，当α
1
，α
2
线性无关时，有(α
1
，α
2
)
2
＜(α
1
，α
1
)(α
2
，α
2
)，故方程 组的系数行列式大于零(不等于零)，方程组有唯一零解k
1
=k
2
=0，代入原式得 λ
1
β
1
+λ
2
β
2
=0． 由β
1
，β
2
线性无关，故λ
1
=λ
2
=0，从而k
1
=k
2
=λ
1
=λ
2
=0，故α
1
，α
2
，β
1
，β
2
线性无关．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/JF04777K
0
考研数学一
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