2. 考研
  3. 已知n(n≥4)维向量组(Ⅰ)α1，α2线性无关，(II)β1，β2线性无关，且α1，α2分别与β1，β2正交，证明：α1，α2，β1，β2线性无关．

已知n(n≥4)维向量组(Ⅰ)α1，α2线性无关，(II)β1，β2线性无关，且α1，α2分别与β1，β2正交，证明：α1，α2，β1，β2线性无关．

admin2019-02-26  26
问题 已知n(n≥4)维向量组(Ⅰ)α1，α2线性无关，(II)β1，β2线性无关，且α1，α2分别与β1，β2正交，证明：α1，α2，β1，β2线性无关．
选项
答案考察 k1α1+k2α2+λ1β1+λ2β2=0． 两边分别对α1，α2作内积，由于(α1，β1)=0，(α1，β2)=0，(α2，β1)=0，(α2，β2)=0， 故得齐次方程组 [*] 由于方程组的系数行列式为 [*] =(α1，α1)(α2，α2)－(α1，α2)2， 根据柯西一施瓦兹不等式，当α1，α2线性无关时，有(α1，α2)2＜(α1，α1)(α2，α2)，故方程 组的系数行列式大于零(不等于零)，方程组有唯一零解k1=k2=0，代入原式得 λ1β1+λ2β2=0． 由β1，β2线性无关，故λ1=λ2=0，从而k1=k2=λ1=λ2=0，故α1，α2，β1，β2线性无关．
解析
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考研数学一

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