设当x＞0时，方程有且仅有一个解，试求k的取值范围。

admin2018-12-27 54

问题设当x＞0时，方程

有且仅有一个解，试求k的取值范围。

选项

答案方法一：令[*]则[*] (1)若k≤0，则f’(x)＜0，f(x)在(0，+∞)上单调递减，并且[*]则当k＜0时，[*]当k=0时，[*]因此，当k≤0时，原方程在(0，+∞)内有且仅有一个解。 (2)若k＞0，令[*]则[*]在[*]上f’(x)＜0，所以f(x)单调递减，在[*]上f’(x)＞0，所以f(x)单调递增，又因为[*]要求k＞0时原方程有且仅有一个解，即[*]亦即 [*] 解得[*] 综上所述，当k≤0或[*]时原方程有且仅有一个解。方法二：原方程可变形为[*]令 [*] 那么 [*] 令f’(x)=0得[*]时，f(x)＞0，f(x)单调递增；当[*]时，f(x)＜0，f(x)单调递减。又因为 [*] 由于[*]或k≤0时，y₁=k与[*]只有一个交点，从而原方程有且仅有一个实根。

解析

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考研数学一

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