η*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解,ξ1,…,ξn-r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系。证明: η*,η*+ξ1,…,+η*+ξn-r线性无关。

admin2018-02-07  33

问题 η*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解,ξ1,…,ξn-r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系。证明:
η*,η*1,…,+η*+ξn-r线性无关。

选项

答案假设η*,η*1,…,η*n-r线性相关,则存在不全为零的数c0,c1,…,cn-r使 c0η*+c1*1)+…+cn-r*n-r)=0, 且(c0+c1+…+cn-r*+c1ξ1+…+cn-rξn-r=0。 (2) 用矩阵A左乘上式两边,得 0=A[(c0+c1+…+cn-r*+c1ξ1+…+cn-rξn-r] =(c0+c1…+cn-r)Aη*+c11+…+cn-rn-r =(c0+c1…+cn-r)b, 因为b≠0,故c0+c1+…+cn-r=0,代入(2)式,有 c1ξ1+…+cn-rξn-r=0, ξ1,…,ξn-r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,故ξ1,…,ξn-r线性无关,因此c1=c2=…=cn-r=0,则c0=0。与假设矛盾。 综上,向量组η*,η*1,…,η*n-r线性无关。

解析
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