设A，B是两个n阶实对称矩阵，并且A正定．证明：当｜ε｜充分小时，A+εB仍是正定矩阵．

admin2017-10-21 63

问题设A，B是两个n阶实对称矩阵，并且A正定．证明：
当｜ε｜充分小时，A+εB仍是正定矩阵．

选项

答案设对(1)中求得的可逆矩阵P，对角矩阵P^TBP对角线上的元素依次为λ₁，λ₂，…，λ_n,记M=max{｜λ₁｜，｜λ₂｜，…，｜λ_n｜}．则当｜ε｜＜1／M时，E+εP^TBP仍是实对角矩阵，且对角线上元素1+ελ_i＞0，i=1，2，…，n．于是E+εP^TBP正定，P^T(A+εB)P=E+εP^TBP，因此A+εB也正定．

解析

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考研数学三

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