2. 考研
  3. 设函数u(x，y)有连续二阶偏导数，满足=0，又满足下列条件：u(x，2x)=x，u’x(x，2x)=x2(即u’x(x，y)|y=2x=x2)，求u"xx(x，2x)，u"xy(x，2x)，u"yy(x，2x)．

设函数u(x，y)有连续二阶偏导数，满足=0，又满足下列条件：u(x，2x)=x，u’x(x，2x)=x2(即u’x(x，y)|y=2x=x2)，求u"xx(x，2x)，u"xy(x，2x)，u"yy(x，2x)．

admin2018-06-15  40
问题 设函数u(x，y)有连续二阶偏导数，满足=0，又满足下列条件：u(x，2x)=x，u’x(x，2x)=x2(即u’x(x，y)|y=2x=x2)，求u"xx(x，2x)，u"xy(x，2x)，u"yy(x，2x)．
选项
答案将u(x，2x)=x两边对x求导，由复合函数求导法及u’x(x，2x)=x2得 u’x(x，2x)+2u’y(x，2x)=1，u’y(x，2x)=1／2(1－x2)． 现将u’x(x，2x)=x2，u’y(x，2x)=1／2(1－2)分别对x求导得 u"xx(x，2x)+2u"y(x，2x)=2x， ① u"yx(x，2x)+2u"yy(x，2x)=－x． ② ①式×2－②式，利用条件u"xx(x，2x)－u"yy(x，2x)=0及u"xy(x，2x)=u"yx(x，2x)得 3u"xy(x，2x)=5x，u"sy(x，2x)=5／3x． 代入①式得u"xx(x，2x)=u"yy(x，2x)=－4／3x．
解析
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考研数学一

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