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设函数u(x,y)有连续二阶偏导数,满足=0,又满足下列条件:u(x,2x)=x,u’x(x,2x)=x2(即u’x(x,y)|y=2x=x2),求u"xx(x,2x),u"xy(x,2x),u"yy(x,2x).
设函数u(x,y)有连续二阶偏导数,满足=0,又满足下列条件:u(x,2x)=x,u’x(x,2x)=x2(即u’x(x,y)|y=2x=x2),求u"xx(x,2x),u"xy(x,2x),u"yy(x,2x).
admin
2018-06-15
29
问题
设函数u(x,y)有连续二阶偏导数,满足
=0,又满足下列条件:u(x,2x)=x,u’
x
(x,2x)=x
2
(即u’
x
(x,y)|
y=2x
=x
2
),求u"
xx
(x,2x),u"
xy
(x,2x),u"
yy
(x,2x).
选项
答案
将u(x,2x)=x两边对x求导,由复合函数求导法及u’
x
(x,2x)=x
2
得 u’
x
(x,2x)+2u’
y
(x,2x)=1,u’
y
(x,2x)=1/2(1-x
2
). 现将u’
x
(x,2x)=x
2
,u’
y
(x,2x)=1/2(1-
2
)分别对x求导得 u"
xx
(x,2x)+2u"
y
(x,2x)=2x, ① u"
yx
(x,2x)+2u"
yy
(x,2x)=-x. ② ①式×2-②式,利用条件u"
xx
(x,2x)-u"
yy
(x,2x)=0及u"
xy
(x,2x)=u"
yx
(x,2x)得 3u"
xy
(x,2x)=5x,u"
sy
(x,2x)=5/3x. 代入①式得u"
xx
(x,2x)=u"
yy
(x,2x)=-4/3x.
解析
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考研数学一
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