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  3. 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，证明：存在ξ，η∈(0，1)，使得f’(ξ)=(1+η2)f’(η)．

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，证明：存在ξ，η∈(0，1)，使得f’(ξ)=(1+η2)f’(η)．

admin2022-10-27  2
问题 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，证明：存在ξ，η∈(0，1)，使得f’(ξ)=(1+η2)f’(η)．
选项
答案令g(x)=arctanx，g’(x)=[*]≠0(x≠0)， 由柯西中值定理，存在η∈(0，1)，使得 [*]，即4/π·[f(1)-f(0)]=(1+η2)f’(η)， 再由拉格朗日中值定理，存在ξ∈(0，1)，使得f(1)-f(0)=f’(ξ)，故 [*]f’(ξ)=(1+n2)f’(η)．
解析
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考研数学一

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