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设fn(x)=x+x2+…+xn(n≥2). (1)证明方程fn(x)=1有唯一的正根xn; (2)求xn.
设fn(x)=x+x2+…+xn(n≥2). (1)证明方程fn(x)=1有唯一的正根xn; (2)求xn.
admin
2018-05-22
48
问题
设f
n
(x)=x+x
2
+…+x
n
(n≥2).
(1)证明方程f
n
(x)=1有唯一的正根x
n
;
(2)求
x
n
.
选项
答案
(1)令φ
n
(x)=f(x)-1,因为φ
n
(0)=-1<0,φ
n
(1)=n-1>0,所以φ
n
(x)在(0,1)[*](0,+∞)内有一个零点,即方程f
n
(x)=1在(0,+∞)内有一个根. 因为φ’
n
(x)=1+2x+…+nx
n-1
>0,所以φ
n
(x)在(0,+∞)内单调增加,所以φ
n
(x)在(0,+∞)内的零点唯一,所以方程f(x)=1在(0,+∞)内有唯一正根,记为x
n
, (2)由f
n
(x
n
)-f
n-1
(x
n-1
)=0,得 (x
n
-x
n-1
)+(x
n
2
-x
n-1
2
)+…+(x
n
n
-x
n+1
n
)=x
n+1
n+1
>0,从而x
n
>x
n-1
,所以{x
n
}
n-1
单调减少,又x
n
>0(n=1,2,…),故[*]x
n
存在,设[*]x
n
=A,显然A≤x
n
≤x
1
=-1,由x
n
+x
n
2
+…+x
n
n
=1,得[*]=1,两边求极限得[*]=1,解得A=[*]
解析
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考研数学二
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