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  3. 设fn(x)=x+x2+…+xn(n≥2)． (1)证明方程fn(x)=1有唯一的正根xn； (2)求xn.

设fn(x)=x+x2+…+xn(n≥2)． (1)证明方程fn(x)=1有唯一的正根xn； (2)求xn.

admin2018-05-22  43
问题 设fn(x)=x+x2+…+xn(n≥2)．
(1)证明方程fn(x)=1有唯一的正根xn；
(2)求xn.
选项
答案(1)令φn(x)=f(x)-1，因为φn(0)=-1＜0，φn(1)=n-1＞0，所以φn(x)在(0，1)[*](0，+∞)内有一个零点，即方程fn(x)=1在(0，+∞)内有一个根． 因为φ’n(x)=1+2x+…+nxn-1＞0，所以φn(x)在(0，+∞)内单调增加，所以φn(x)在(0，+∞)内的零点唯一，所以方程f(x)=1在(0，+∞)内有唯一正根，记为xn， (2)由fn(xn)-fn-1(xn-1)=0，得 (xn-xn-1)+(xn2-xn-12)+…+(xnn-xn+1n)=xn+1n+1＞0，从而xn＞xn-1，所以{xn}n-1单调减少，又xn＞0(n=1，2，…)，故[*]xn存在，设[*]xn=A，显然A≤xn≤x1=-1，由xn+xn2+…+xnn=1，得[*]=1，两边求极限得[*]=1，解得A=[*]
解析
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考研数学二

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