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设n元线性方程组Ax=b,其中 (1)证明行列式|A|=(n+1)an; (2)当a为何值时,该方程组有唯一解,并求x1; (3)当a为何值时,该方程组有无穷多解,并求通解.
设n元线性方程组Ax=b,其中 (1)证明行列式|A|=(n+1)an; (2)当a为何值时,该方程组有唯一解,并求x1; (3)当a为何值时,该方程组有无穷多解,并求通解.
admin
2019-03-21
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问题
设n元线性方程组Ax=b,其中
(1)证明行列式|A|=(n+1)a
n
;
(2)当a为何值时,该方程组有唯一解,并求x
1
;
(3)当a为何值时,该方程组有无穷多解,并求通解.
选项
答案
(1)方法一 数学归纳法 当n=1时。 |A|=|2n|=2a,结论成立; 当n=2时, |A|=[*]=3a
2
,结论成立; 假设结论对n=2,n-1阶行列式成立,即|A|
n-2
=(n-1)a
n-2
,|A|
n-1
=na
n-1
. 将|A|
n
按第一行展开有 |A|
n
=2a|A|
n-1
-a
2
|A|
n-2
=2a.na
n-1
-a
2
.(n—1)a
n-2
=(”+1)a
n
. 即结论对n阶行列式仍成立.因此由数学归纳原理知,对任何正整数n,有 |A|=(n+1)a
n
. 方法二 化三角形 [*] =… [*] =(n+1)a
n
. (2)当|A|=(n+1)a
n
≠0,即a≠0时,由Cramer法则得[*],其中 [*]=|A|
n-1
=na
n-1
, 故[*] (3)当(n+1)a
n
=0,即a=0时,方程组有无穷多解,此时增广矩阵为 [*] 易得特解为[*],对应的齐次方程组的基础解系只有一个解向量,且可取为[*]故Ax=b的通解为:[*],k为任意常数.
解析
对于n阶行列式的计算,可用性质化三角形行列式,或按行(列)展开递推计算,也可用数学归纳法.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/JUV4777K
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考研数学二
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