设n元线性方程组Ax＝b，其中 (1)证明行列式｜A｜＝(n＋1)an； (2)当a为何值时，该方程组有唯一解，并求x1； (3)当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解．

admin2019-03-21 60

问题设n元线性方程组Ax＝b，其中

(1)证明行列式｜A｜＝(n＋1)aⁿ；
(2)当a为何值时，该方程组有唯一解，并求x₁；
(3)当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解．

选项

答案(1)方法一数学归纳法当n＝1时。｜A｜＝｜2n｜＝2a，结论成立；当n＝2时，｜A｜＝[*]＝3a²，结论成立；假设结论对n＝2，n－1阶行列式成立，即｜A｜_n－2＝(n－1)a^n－2，｜A｜_n－1＝na^n－1．将｜A｜_n按第一行展开有｜A｜_n＝2a｜A｜_n－1－a²｜A｜_n－2＝2a.na^n－1－a².(n—1)a^n－2＝(”＋1)aⁿ．即结论对n阶行列式仍成立．因此由数学归纳原理知，对任何正整数n，有｜A｜＝(n＋1)aⁿ．方法二化三角形 [*] ＝… [*] ＝(n＋1)aⁿ． (2)当｜A｜＝(n＋1)aⁿ≠0，即a≠0时，由Cramer法则得[*]，其中 [*]＝｜A｜_n－1＝na^n－1，故[*] (3)当(n＋1)aⁿ＝0，即a＝0时，方程组有无穷多解，此时增广矩阵为 [*] 易得特解为[*]，对应的齐次方程组的基础解系只有一个解向量，且可取为[*]故Ax＝b的通解为：[*]，k为任意常数．

解析对于n阶行列式的计算，可用性质化三角形行列式，或按行(列)展开递推计算，也可用数学归纳法．

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考研数学二

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设n元线性方程组Ax＝b，其中 (1)证明行列式｜A｜＝(n＋1)an； (2)当a为何值时，该方程组有唯一解，并求x1； (3)当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解．

考研数学二

求下列方程的通解：(Ⅰ)(x－2)dy=[y+2(x－2)3]dx；(Ⅱ)y2dx=(x+y2)dy；(Ⅲ)(3y－7x)dx+(7y－3x)dy=0．

设函数y1(x)，y2(x)，y3(x)线性无关，而且都是非齐次线性方程(6．2)的解，C1，C2为任意常数，则该非齐次方程的通解是

设函数f(x)在(－∞，+∞)内满足f(x)=f(x－π)+sinx，且f(x)=x，x∈[0，π)，求∫π3πf(x)dx．

下列函数中在[－2，3]不存在原函数的是

设f(x)与g(x)在[a，b]上连续，且同为单调不减(或同为单调不增)函数，证明：(b－a)∫abf(x)g(x)dx≥∫abf(x)dx∫abg(x)dx．(*)

计算n阶行列式

采用拼组机床加工大型零件，具有的主要特点有()。

我国安全的生产方针是："安全第一、预防为主"。

文字起源于()

下列检查中，哪一项对鉴别单纯性与绞窄性肠梗阻最有帮助（）

不属于神经反射检查的内容是（）

根据《中华人民共和国水土保持法》，修建铁路、公路和水工程时必须采取的防止水土流失措施有()。

Ifyousmoke,nooneneedstotellyouhowbaditis.Sowhyhaven’tyouquit?Whyhasn’teveryone?Becausesmokingfeelsgo

有以下程序main(){intx=1，y=0，a=0，b=0；switch(x){case1：switch(y){case0：a++：break；case1：b++；break；}case2：a++；b++；break；case3：a++；

Franklyspeaking,I’dratheryou(make)______nocommentontheissueattheconferenceyesterday.