2. 考研
  3. 设n元线性方程组Ax＝b，其中 (1)证明行列式｜A｜＝(n＋1)an； (2)当a为何值时，该方程组有唯一解，并求x1； (3)当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解．

设n元线性方程组Ax＝b，其中 (1)证明行列式｜A｜＝(n＋1)an； (2)当a为何值时，该方程组有唯一解，并求x1； (3)当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解．

admin2019-03-21  43
问题 设n元线性方程组Ax＝b，其中

    (1)证明行列式｜A｜＝(n＋1)an；
    (2)当a为何值时，该方程组有唯一解，并求x1；
    (3)当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解．
选项
答案(1)方法一 数学归纳法 当n＝1时。 ｜A｜＝｜2n｜＝2a，结论成立； 当n＝2时， ｜A｜＝[*]＝3a2，结论成立； 假设结论对n＝2，n－1阶行列式成立，即｜A｜n－2＝(n－1)an－2，｜A｜n－1＝nan－1． 将｜A｜n按第一行展开有 ｜A｜n＝2a｜A｜n－1－a2｜A｜n－2＝2a.nan－1－a2.(n—1)an－2＝(”＋1)an． 即结论对n阶行列式仍成立．因此由数学归纳原理知，对任何正整数n，有 ｜A｜＝(n＋1)an． 方法二 化三角形 [*] ＝… [*] ＝(n＋1)an． (2)当｜A｜＝(n＋1)an≠0，即a≠0时，由Cramer法则得[*]，其中 [*]＝｜A｜n－1＝nan－1， 故[*] (3)当(n＋1)an＝0，即a＝0时，方程组有无穷多解，此时增广矩阵为 [*] 易得特解为[*]，对应的齐次方程组的基础解系只有一个解向量，且可取为[*]故Ax＝b的通解为：[*]，k为任意常数．
解析 对于n阶行列式的计算，可用性质化三角形行列式，或按行(列)展开递推计算，也可用数学归纳法．
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考研数学二

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