2. 考研
  3. 设A是n阶矩阵，α1，α2，…，αn是n维列向量，且αn≠0，若Aα1＝α2，Aα2＝α3，…，Aαn－1＝αn，Aαn＝0。 求A的特征值、特征向量。

设A是n阶矩阵，α1，α2，…，αn是n维列向量，且αn≠0，若Aα1＝α2，Aα2＝α3，…，Aαn－1＝αn，Aαn＝0。 求A的特征值、特征向量。

admin2015-11-16  68
问题 设A是n阶矩阵，α1，α2，…，αn是n维列向量，且αn≠0，若Aα1＝α2，Aα2＝α3，…，Aαn－1＝αn，Aαn＝0。
求A的特征值、特征向量。
选项
答案因Aαi＝αi＋1(i＝1，2，…，n－1)，Aαn＝0，故 A[α1，α2，…，αn]＝[α2，α3，…，αn，0]＝[α1，α2，…，αn][*]。 因α1，α2，…，αn线性无关，故P＝[α1，α2，…，αn]可逆，且 [*] 所以A～B，显然B的特征值全为0，所以A的特征值也全为0，又因 秩(A)＝秩(B)＝n－1， 故AX＝0的基础解系只含一个解向量，因Aαn＝0αn，而αn≠0，故A的关于0的特征向量为kαn(k≠0)。
解析
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考研数学一

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