设A是n阶矩阵,α1,α2,…,αn是n维列向量,且αn≠0,若Aα1=α2,Aα2=α3,…,Aαn-1=αn,Aαn=0。 求A的特征值、特征向量。

admin2015-11-16  24

问题 设A是n阶矩阵,α1,α2,…,αn是n维列向量,且αn≠0,若Aα1=α2,Aα2=α3,…,Aαn-1=αn,Aαn=0。
求A的特征值、特征向量。

选项

答案因Aαi=αi+1(i=1,2,…,n-1),Aαn=0,故 A[α1,α2,…,αn]=[α2,α3,…,αn,0]=[α1,α2,…,αn][*]。 因α1,α2,…,αn线性无关,故P=[α1,α2,…,αn]可逆,且 [*] 所以A~B,显然B的特征值全为0,所以A的特征值也全为0,又因 秩(A)=秩(B)=n-1, 故AX=0的基础解系只含一个解向量,因Aαn=0αn,而αn≠0,故A的关于0的特征向量为kαn(k≠0)。

解析
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