设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,f(a)=f(b)=0,且f’+(a)>0.证明:存 在ξ∈(a,b),使得f’’(ξ)<0.

admin2018-01-23  18

问题 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,f(a)=f(b)=0,且f’(a)>0.证明:存
在ξ∈(a,b),使得f’’(ξ)<0.

选项

答案因为[*]=f’(a),所以存在δ>0,当0<x-a<δ时,有 [*]>0,从而f(x)>f(a),于是存在c∈(a,b),使得f(c)>f(a)=0. 由微分中值定理,存在ξ1∈(a,c),ξ2∈(c,b),使得 [*] 再由微分中值定理及f(x)的二阶可导性,存在ξ∈(ξ1,ξ2)[*](a,b),使得 [*]

解析
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